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Función continua de la esfera al toro y del toro a la esfera

+1 voto
¿Alguien puede proporcionarme un ejemplo de función continua de la esfera al toro y otra del toro a la esfera?
preguntado por Federico Gauss (600 puntos) Jul 9, 2014 en Básicas
¿Con la topología usual?
Si, con la topología heredada de R^3 tanto a la esfera como al toro...

1 Respuesta

+3 votos
Las funciones constantes.

 

Edit (comentario de Yarza). Si funciones constantes son siempre continuas. Construir funciones continuas sobreyectivas de una variedad en otra tampoco es problema (ve "space-filling curves").

Por ejemplo en nuestro caso podemos pensar el toro $T^2$ como $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$. Entonces cualquier funcion continua $g$ de la esfera en el plano cuya imagen contenga el cuadrado con esquinas $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$ induce una funcion sobreyeciva $S^2\rightarrow \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2\cong T^2$.

Por otra parte si $D\hookrightarrow T^2$ es una 2-bola cerrada encajada en el toro, entonces $T^2/(T^2-int(D))$ es homeomorfo a la esfera por lo que la proyeccion $T^2\rightarrow T^2/(T^2-int(D)) \cong S^2$ es una funcion sobreyectiva.

Sin embargo existe una diferencia muy importante entre estos dos ejemplos. El primer ejemplo es en un sentido trivial mientras el segundo es no trivial:

Cualquier funcion $S^2\rightarrow T^2$ tiene un levantamiento a una funcion al plano porque $S^2$ tiene grupo fundamental trivial. Es decir, nuestra funcion factoriza como $S^2\rightarrow \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2\cong T^2$. Es facil ver que cualquier funcion  $S^2\rightarrow \mathbb{R}^2$ puede ser deformada continuamente a una funcion constante (keyword: homotopia). Proyectando esta deformacion al toro $T^2$ vemos que cualquier funcion continua (incluso sobreyectiva) puede ser deformada continuamente a una funcion constante. En este sentido todas las funciones de la esfera al toro son triviales.

Por otra parte, se puede ver que la funcion que dimos arriba del toro a la esfera tiene grado 1, es decir, induce un isomorfismo en la homologia de grado 2 y por lo tanto no puede ser deformada continuamente a una funcion constante (voy a pensar como ver esto de manera mas elemental). En este sentido, la funcion que dimos arriba es en efecto no trivial.
respondido por Carlos (17,280 puntos) Jul 10, 2014
editado por Carlos Jul 17, 2014
Entonces, ¿puedo suponer que si p es un punto cualquiera, digamos en la esfera, y sea por ejemplo t_0 un punto del toro, entonces mi función continua sería f(p)=t_0?

Se me ocurría también una función continua del toro a la esfera si t es cualquier punto del toro y f(t)=t/|t| si colocamos la esfera dentro del toro y centrada en el origen; f(t) enviaría cada punto del toro a la superficie de la esfera unitaria. No se si esto sea correcto.

Saludos
Mmmhhh... No sé, como que esperaba algo más elaborado... Las funciones constantes son continuas en cualquier caso. ¿No sería más interesante que además de continuas fueran sobreyectivas?
Creo que en dicho caso sólo existiría una de la esfera al toro, pero no una del toro a la esfera.
ya he complementado mi respuesta
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