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El irracional tiene una página en FB. El Irracional






¿Cuál es la probabilidad de que un número contenga todas las secuencias?

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He leído en varios rincones del internet el errado concepto de que todo número irracional contiene a todas las secuencias finitas de dígitos en su expansión (decimal). Esto es obviamente falso, por ejemplo, se puede tomar cualquier irracional y cambiar todos los 9 de su expansión decimal por 8 y ya no contendrá ninguna secuencia que contenga nueves. También existen números que sí contienen a todas las secuencias como el que se obtiene concatenando todos los naturales en orden (0.12345678910111213...).

Mi pregunta es, sí se elige un número al azar entre 0 y 1 (con distribución uniforme) ¿cuál es la probabilidad de que contenga a todas las secuencias finitas de dígitos?

En otras palabras ¿Cuál es la medida del conjunto de los números entre 0 y 1 que contienen todas las secuencias finitas de dígitos?

Y ya entrados en detalles ¿cómo depende el resultado de la base?

Mi conjetura es que este conjunto es de medida cero, pero no tengo nada cercano a una demostración.
preguntado por EliasMochan (7,770 puntos) Jul 12, 2014 en Básicas

1 Respuesta

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Mejor respuesta

"Mi conjetura es que este conjunto es de medida cero, pero no tengo nada cercano a una demostración." 

Al contrario. Los numeros que buscas se llaman normales y se sabe que casi todos los numeros reales son normales, es decir, los numeros no normales son un conjunto de medida cero. Y esto es valido en cualquier base. Mas informacion en Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number

respondido por Carlos (17,280 puntos) Jul 17, 2014
seleccionada por EliasMochan Jul 17, 2014
Qué mala intuición la mía. De hecho, según el artículo de wikipedia los números normales son los que para toda base $b$ contienen toda secuencia de $k$ dígitos con frecuencia $b^{-k}$. Y estos son casi todos. Es decir que el resultado es mucho más fuerte.

Gracias.
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