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el área de un rombo es 480cm su perímetro es 104cm. calcular la longitud de cada una de sus diagonales

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el área de un rombo es 480cm 
su perímetro es 104cm. calcular la longitud de cada una de sus diagonales

preguntado por neshala (70 puntos) Sep 14, 2014 en Álgebra

1 Respuesta

+1 voto

Sean x, y las longitudes de las diagonales del rombo en centímetros.

El área del rombo es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales. Entonces:                                                                                   

(xy / 2) = 480

Es decir,

                                                                 xy = 960  (1)

Ya que los cuatro lados del rombo son iguales y su perímetro es 104cm, el lado del rombo mide:

(104cm / 4) = 26cm.

Se tiene entonces el siguiente rombo:

                                     

Del Teorema de Pitágoras, podemos establecer la siguiente relación:

262 = (x / 2)2 + (y / 2)2     __>   676 = (x/ 4) + (y/ 4)   __>  2704 = x2 + y2             Es decir,

                                                           x2 + y2 = 2704  (2)

Reuniendo (1) y (2), se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

xy = 960     (1)

x2 + y2 = 2704     (2)

Ya que x, y son distintos de 0, podemos hacer lo siguiente:

De (1) podemos decir que: y = (960 / x). Introduciendo este valor de en (2), se tiene que:

x2 + (960 / x)2 = 2704   __>   x2 + (921600 / x2) = 2704   __>  x4 + 921600 = 2704x2   Es decir,

x4 - 2704x2 + 921600 = 0

Factorizando:

(x2 - 2304) (x2 - 400) = 0     Por tanto,

x2 = 2304  ˅  x2 = 400

Descartando las raíces negativas, ya que x > 0, tenemos que

x = 48  ˅  x = 20

Ya que 48 * 20 = 960, tenemos entonces que:

x = 48

y = 20,

O bien,

x = 20

y = 48

 

Por tanto, las longitudes de las diagonales x, y de nuestro rombo pueden ser:

 

x = 48cm

y = 20cm,

 

O bien,

 

x = 20cm

y = 48cm

 

Problema resuelto.

respondido por Alexander Isr Flores (1,100 puntos) Dic 15, 2015
editado por Alexander Isr Flores Dic 15, 2015
Bueno, la diagonal mayor mide 48cm y la menor mide 20cm.
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