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Sea x>0, luego, sea $n_0$ el mayor entero tal que $n_0\leq x...$ (ayuda con la demostración de la existencia)

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Estoy comenzando a leer el libro de Rudin y en una parte dice lo siguiente: sea $x>0$, luego sea $n_0$ el mayor entero tal que $n_0\leq x $(Note que la existencia de $n_0$ depende de la propiedad arquimediana de $\Bbb R$). Ahora, me pregunto, ¿cómo se puede demostrar esto con la propiedad arquimediana?

Edito: Hallé la respuesta, pero tuve que utilizar el principio del buen orden..

preguntado por Carlos Jalpa (11,200 puntos) Sep 16, 2014 en Básicas
editado por Carlos Jalpa Sep 16, 2014

1 Respuesta

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Mejor respuesta
Usando la propiedad arquimedeana tienes que para toda $\varepsilon>0$ existe una $n_1$ tal que $n_1 \varepsilon>x$. Tomando $\varepsilon=1$ y usando el principio del buen orden puedes encontrar la mínima $n_1$ tal que $x<n_1$. Como $n_1$ es mínima, eliges $n_0=n_1-1$ y ya acabaste. Supongo que esa es la demostración que ya tenías.

Otra opción es usar el principio del supremo (que creo que el Rudin toma como axioma). Como existen enteros menores que $x$ (por ejemplo, el 0), el conjunto de enteros menores que $x$ es no vacío. De nuevo, por la propiedad arquimedeana, existe algún entero mayor que $x$, por lo tanto el conjunto de enteros menores o iguales que $x$ es acotado. Sea $n_0$ el supremo de tal conjunto. Ahora tu problema es demostrar que $n_0$ es entero. Supón que no lo es y usa la densidad del orden de los reales para demostrar que hay una cota más chica.
respondido por EliasMochan (7,980 puntos) Sep 17, 2014
seleccionada por Carlos Jalpa Sep 17, 2014
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