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producto cartesiano de $\sigma$-álgebras

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Hola! Mi pregunta es esta: ¿cómo se define el producto cartesiano de dos $\sigma$-álgebras? ¿Hay alguna convención acerca de esto?

He leído que si tenemos dos espacios medibles,  el producto cartesiano de las $\sigma$-álgebras no siempre es $\sigma$-álgebra del producto cartesiano de los espacios, sin embargo tengo dudas respecto a la definición de producto cartesiano de $\sigma$-álgebras y en general de familias de conjuntos.

 

Espero que me puedan ayudar. Un saludo.
preguntado por Javier Santibáñez (140 puntos) Oct 2, 2014 en Notación/Convenciones
editado por Javier Santibáñez Oct 2, 2014

1 Respuesta

+1 voto
La $\sigma$-algebra $\mathcal{B}_1\times \mathcal{B}_2$ producto de las dos $\sigma$-algebras $\mathcal{B}_i$ en los espacios $X_i$ es el algebra generada por los subconjuntos $B_1\times B_2\subset X_1\times X_2$ tal que $B_i\in \mathcal{B}_i$.

Sean $(X_i,\mathcal{B}_i)$, $i=1,2$ dos espacios medibles. Para la $\sigma$-algebra producto se cumple que si $A\in\mathcal{B}_1\times \mathcal{B}_2 $ entonces $A_{x_2}:=\{x_1\in X_1\;|\;(x_1,x_2)\in A\}\in \mathcal{B}_1$.

Ahora si consideramos por ejemplo la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^2$ entonces cualquier subconjunto de $\mathbb{R}\times\{0\}$ es medible (con medida cero). Sin embargo por la observacion de arriba no todos estos subconjuntos perteneces a la $\sigma$-algebra producto (toma un subconjunto $A\subset\mathbb{R}$ no Lebesgue-medible, entonces $A\times\{0\}\subset\mathbb{R}^2$ es Lebesgue medible pero no pertenece al producto).
respondido por Carlos (17,280 puntos) Oct 3, 2014
Carlos, gracias por tu respuesta pero mi pregunta era ¿cómo se define el producto de dos $\sigma$-álgebras? o en general de dos familias de conjuntos, en lo que respondes se ve involucrado ese producto o sea que mi pregunta es aún más básica. Sin embargo, creo poder responder mi pregunta con tu respuesta, solamente te pediría que me correboraras:
Si $(\mathcal{B}_1, X_1)$ y ($\mathcal{B}_2, X_2)$ son dos espacios medibles, entonces $\mathcal{B}_1\times\mathcal{B}_2=\left\lbrace B_1\times B_2 : B_i\in\mathcal{B}_i, i=1,2\right\rbrace$, ¿entendí bien? Nuevamente gracias.
No del todo. El producto de las sigma álgebras es el sigma álgebra más pequeña que contiene el conjunto que escribiste.
Según el último comentario, ¿el producto de las $\sigma$-álgebras es igual a la $\sigma$-álgebra del producto de las $\sigma$-álgebras?
Hola, la última pregunta que escribiste es inentendible. Sin embargo, un poco de notación aclarará tu duda:
1. Dados dos conjuntos $A$ y $B$ cualesquiera, define $A \times B$ como el conjunto de pares ordenados $(x,y)$ tales que $x \in A$ y $y \in B$
2. Dado un conjunto $A,$ denota por $\Sigma(A)$ a la mínima $\sigma$-álgebra que contiene a $A$.
3. Si $(S, \mathscr{S})$ y $(T, \mathscr{T})$ son dos espacios medibles entonces se define la $\sigma$-álgebra producto mediante $\mathscr{S} \otimes \mathscr{T} := \Sigma(\mathscr{S} \times \mathscr{T})$.
Hola Guillermo, gracias por responder a mi pregunta, sin embargo aún tengo un poco de confusión.
La pregunta me surgió de leer que "el producto de dos $\sigma$-álgebras no siempre es una $\sigma$-álgebra..." (y que por eso se define la $\sigma$-álgebra producto como ambos lo describen). Precisamente, lo que quiero saber es cómo se define el producto ($\mathcal{S}\times\mathcal{T}$) y no cómo se define la $\sigma$-álgebra del producto ($\sigma(\mathcal{S}\times\mathcal{T})$, siguiendo tu notación).
A caso ¿$\mathcal{S}\times\mathcal{T}=\left\lbrace s\times t : s\in\mathcal{S}, t\in\mathcal{T}\right\rbrace$? (entiendo que tal conjunto no es necesariamente una $\sigma$-álgebra de $S\times T$. pero esa no es mi pregunta).
Reeditado

Lo que te piden es dar un ejemplo de dos $\sigma$-álgebras $\mathscr{S}$ y $\mathscr{T}$ tales que $\mathscr{R}(S \times T) \neq \mathscr{S} \otimes \mathscr{T}$ donde $\mathscr{R}(S \times T)$ es el conjunto de rectángulo medibles. Creo que casi cualquier $\sigma$-álgebra usual no va a satisfacer esto, como $\mathscr{B}_{\mathbb{R}},$ la $\sigma$-álgebra de borel (considera algo así como la diagonal en $\mathbb{R}^2,$ la cual es un boreliano de $\mathbb{R}^2$ pero no es un producto cruz de dos borelianos de $\mathbb{R}$).
Sí claro, es eso, pero ¿cómo se define $\mathscr{S}\times\mathscr{T}$? ¿es así como lo escribí en el comentario anterior?
Ya entendí qué quieres decir. La $\sigma$-álgebra producto usualmente se define como aquella generada por los rectángulos medibles. Ahora, el producto cartesiano de dos $\sigma$-álgebras sería algo así el conjunto de pares $(A,B)$ tales que $A$ pertenece a la primera y $B$ a la segunda, ¿cierto? En ese caso, la pregunta carece de sentido (de nuevo, muchos autores escriben porque tienen capacidad de escribir, pero a veces no saben que escriben).

Ahora creo que la pregunta que te hicieron es dar un ejemplo donde el $\mathcal{S} \times \mathcal{T}$ que tú definiste arriba no coincide con $\sigma(\mathcal{S} \times \mathcal{T})$. O sea, $\mathcal{S} \times \mathcal{T}$ es el conjunto de rectángulos medibles.
Muchas gracias Guillermo, es que no le encontraba el sentido a tomar el producto cartesiano de dos $\sigma$-álgebras porque el resultado es quién sabe qué cosa sin sentido.

Si te interesa, puedes responder a la pregunta (porque todo lo anterior han sido comentarios de la respuesta de Carlos) y así puedo calificarte con +1.
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