• Registro
Foro de preguntas y respuestas de matemáticas, de cualquier nivel. Cuánto más interesantes, divertidas o intrépidas, mejor.
Aviso: Te invitamos a conocer la página de Facebook de la UCIM

Ganas puntos al hacer preguntas, contestarlas y, sobre todo, si tu respuesta es seleccionada como la mejor.
Registrate como usuario para participar en el foro. También puedes utilizar tu identidad de FB Utiliza el botón azul para ingresar (si usas tu identidad de FB y estás logeado en FB, automáticamente te reconoce).

El irracional tiene una página en FB. El Irracional






Grupos de permutaciones infinitos

+2 votos
La formulación de la pregunta es muy sencilla: Dados dos conjuntos $X$ y $Y$, ¿Es cierto que $|X|=|Y|$ si y sólo si $S_X\cong S_Y$? ($S_Z$ denota el grupo de biyecciones del conjunto $Z$ en sí mismo ("permutaciones"), así que la pregunta es si tener la misma cardinalidad es equivalente a tener grupos de permutaciones isomorfos). (Nótese que la parte del "sólo si" es trivial, por lo que la pregunta realmente concierne a la otra implicación: ¿Es cierto que si $S_X\cong S_Y$ entonces $|X|=|Y|$?).

[Confesión: hace varios años vi, en una lista de ejercicios de la licenciatura, esta pregunta --pero en vez de "¿es cierto...?" decía "demuestre que...". Hasta la fecha no he podido demostrarlo, por lo cual estoy abierto a la posibilidad de que no sea cierto y por ello reformulé la pregunta así.]
preguntado por David Fernández (15,540 puntos) Nov 2, 2014 en Avanzadas

1 Respuesta

+2 votos
 
Mejor respuesta

Esto lo preguntó Joel David Hamkins hace tiempo en MathOverflow. La respuesta es que sí, $S_X \cong S_Y \implies |X| = |Y|$. Recibió varias buenas respuestas; me gustó particularmente la de Andreas Blass que probó que para $X$ infinito, $|X|$ es el tamaño mínimo  de una clase de conjugación no trivial en $S_X$.También mencionaron una serie de ejercicios guiados en el libro de álgebra de Dummit and Foote que contestan la pregunta.

Para conveniencia del lector, aquí está el argumento de Andreas Blass:

Supongamos que $X$ es infinito y que $C$ es una clase de conjugación no trivial (es decir, que no consta solo de la identidad) de $S_X$. Sea $\sigma \in C$, como $C$ no es trivial, $\sigma$ no es la identidad y entonces hay algún $x \in X$ con $\sigma(x) \neq x$. Ahora, para cualquier $y \in X \setminus \{x\}$, consideremos la transposición $\tau = (\sigma(x) y)$. La permutación $\tau \circ \sigma \circ \tau^{-1}$ está en $C$ y manda $x$ a $y$. Variando $y$ obtenemos $|X|$ distintos conjugados de $\sigma$ por lo que $|C| \le |X|$.

Así que cualquier clase de conjugación no trivial tiene al menos $|X|$ elementos. Por otra parte, siempre hay clases de conjugación de esa cardinalidad. Por ejemplo, el conjunto de todas las transposiciones es una clase de conjugación y su cardinalidad es $|X|^2 = |X|$.

respondido por Omar Antolín (33,060 puntos) Nov 2, 2014
editado por Omar Antolín Nov 2, 2014
Efectivamente, veo que la respuesta de Blass es muy bonita. La que utiliza el teorema de Ulam-Baer-Schreier no me agradó tanto, presumiblemente porque no tengo ni idea de cómo se demuestra el susodicho teorema (y la vez que traté  de averiguarlo, la única fuente que logré encontrar era el artículo en alemán de Baer, el cual ni con Google traductor logró tener ningún sentido para mí).
Licencia Creative Commons
Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 2.5 México.

powered by UCIM

...