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Halla los valores y vectores propios de la matriz A.

0 votos

Para la matriz A:

,

halla sus valores y vectores propios.

preguntado por Michel Anthony (21,320 puntos) Ago 13, 2013 en Básicas
recategorizada por Michel Anthony Ago 31, 2013
Como la suma de los elementos de cada fila de $A$ es $1$ es claro que $\left(
\begin{array}{c}
1\\
1\\
1
\end{array}
\right)$ es un vector propio de $A$ asociado al valor propio $\lambda = 1.$
¡Vale, José! Continúe con esas deducciones, por favor.

1 Respuesta

+3 votos
 
Mejor respuesta
Aquí el "reto" es dar una solución que ocupe tan pocas calculaciones como sea posible. Como mencioné en el comentario, el hecho de que la suma de los elementos de cada fila de $A$ sea $1$ implica que

$\left(
\begin{array}{c}
1\\
1\\
1
\end{array}
\right)$

es un vector propio de la matriz con valor propio $\lambda_{1} = 1$. Por otra parte, puesto que la matriz no es invertible (¡tiene dos columnas iguales!), $\lambda_{2} = 0$ también es valor propio de ella. Como las entradas en la primera columna de la matriz son iguales a las entradas en la segunda columna, podemos ver fácilmente que un elemento del espacio propio correspondiente a $\lambda_{2}$ es

$\left(
\begin{array}{c}
1\\
-1\\
0
\end{array}
\right).$

Si se determina ahora el polinomio característico de la matriz, es sencillo dar con el tercer valor propio de $A$ (utilizando división sintética por ejemplo). Se obtiene que $\lambda_{3} = \frac{1}{4}$ y que un elemento del espacio propio correspondiente a este valor propio es

$\left(
\begin{array}{c}
-2\\
1\\
1
\end{array}
\right).$
respondido por José Hdz (39,570 puntos) Sep 1, 2013
editado por José Hdz Sep 2, 2013
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