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Un grupo es finito si y solo si tiene un número finito de subgrupos

+1 voto
Hola buenas noches, tengo el siguiente problema y no sé cómo atacarlo. El enunciado dice lo siguiente:

Un grupo es finito si y sólo si tiene un número finito de subgrupos.

Les agradezco de antemano la ayuda
preguntado por Guillermo (390 puntos) Nov 4, 2014 en Básicas

2 Respuestas

+1 voto
 
Mejor respuesta

Para la implicación interesante:

Sea $G$  un grupo que tiene un número finito de subgrupos. Supongamos que $G$ no es finito. Del supuesto anterior y de la hipótesis dada sobre $G$ se desprende que todos los elementos de $G$ tienen orden finito. Se cumple además que, para cada $n \in \mathbb{N}$, sólo hay un número finito de elementos de $G$ de orden $n$. De esto último y del supuesto que se está haciendo sobre el cardinal de $G$ se sigue que el conjunto de números naturales que son órdenes de elementos de $G$ es infinito (pues en otro caso $G$ se podría expresar como una unión finita de conjuntos finitos).  Lo anterior entra en contradicción con el dato sobre el número de subgrupos de $G$ y la prueba termina.

respondido por José Hdz (39,570 puntos) Nov 4, 2014
seleccionada por Guillermo Nov 4, 2014
hola, los subgrupos no pueden ser infinitos, entonces los ordenes de los elementos no serian finito
+2 votos
Cada elemento genera un subgrupo cíclico. Si el grupo es infinito y solo tiene un número finito de subgrupos, una infinidad de elementos generan el mismo subgrupo. Esto es imposible pues un grupo cíclico (sea finito o no) solo tiene un número finito de generadores.
respondido por Omar Antolín (33,060 puntos) Nov 5, 2014
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