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Conjuntos linealmente independientes

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Sean $V_F$ un espacio vectorial sobre un campo $F$, $u,$ $v \in V$ tales que $u \neq v$ y $u + v \neq u - v$. Mostrar que $\{ u, v \}$ es $l.$ $i. \Leftrightarrow \{ u + v, u - v \}$ es $l.$ $i.$
preguntado por Ricardo (1,300 puntos) Dic 12, 2014 en Miscelánea
La hipótesis $u\neq v$ es innecesaria. La hipótesis $u+v \neq u-v$ se puede cambiar por "el campo $F$ no tiene característica 2".

1 Respuesta

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Mejor respuesta
Veamos los dos lados de la implicación por separado:

$(\Longrightarrow)$: Supongamos que $\left\{ u, v \right\}$ es un conjunto $L.I$. Sean ahora $\alpha, \beta \in F$ tales que
\[
\alpha(u+v) + \beta (u-v) =0
\]
como $u+v \neq u-v$ lo anterior implica que
\[
(\alpha+\beta) u + (\alpha-\beta)v =0
\]
pero al ser $\left\{ u, v \right\}$ es un conjunto $L.I$ se sigue que $(\alpha+\beta)=(\alpha-\beta)=0$, es decir que $\alpha=\beta=0$. Por lo que en efecto $\left\{ u+v, u-v \right\}$ es $L.I$

$(\Longleftarrow)$: Ahora tenemos que $\left\{ u+v, u-v \right\}$ es $L.I$. Consideremos enotnces $\gamma, \delta \in F$ tales que
\[
\gamma u + \delta v=0
\]
Así que con un razonamiento similar al de la ida obtendremos que (nota que $2u=(u+v)+(u-v)$ y con menos para $2v$)
\[
\left( \frac{\gamma}{2} + \frac{\delta}{2} \right) (u+v) + \left( \frac{\gamma}{2} - \frac{\delta}{2} \right) (u-v) = 0
\]
y aplicando el hecho de que $\left\{ u+v, u-v \right\}$ es $L.I$ se concluye que lo anterior ocurro sólo si $\gamma=\delta=0$, por lo que en efecto $\left\{ u, v \right\}$ es un conjunto $L.I$
respondido por aldel16 (1,730 puntos) Dic 13, 2014
seleccionada por Ricardo Dic 14, 2014
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