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Problema de valor inicial EDO

+1 voto
 
Sea el problema de valor inicial:
 
x0 = f (t,x),x(t0) = x0,
 
y sea D ⊆ Rn un dominio que contiene a x = 0. Suponer que f (t,0) = 0 y
 
que f (t,x) es Lipschitz en x sobre [t0,∞)×D con constante de Lipschitz L en kk2, y que la solución x(t) está definida para todo t ≥ t0 y pertenece a D.
 
(a) Mostrar que
 
|d/dt[x^T(t)x(t)|≤ 2L||x(t)||^2
 
(b) Mostrar que
 
||x0|| e^{−L(t−t0)} ≤ ||x(t)|| ≤ ||x0|| e^{L(t−t0)}.
 
Ayuda por favor.
 
Necesito que me orienten a resolver este problema.
preguntado por Panké Pünke Leal (70 puntos) Ene 29, 2015 en Avanzadas
Es un poco difícil leer el ejercicio así como está, ¿habrá chanza que utilices LaTex?

1 Respuesta

0 votos
El item a) esta un tanto confuso de entender, seria bueno que lo detalles. En cuanto al item b) aqui hago un esbozo de la prueba. Considera $\psi(t)=\log\left(\vert x(t)\vert^2\right)$, entonces

\begin{eqnarray}

\frac{d}{dt}\psi(t)&=&\frac{2\langle x(t),f(t,x(t))\rangle}{\vert x(t)\vert^2}\\

&\leq&2L,

\end{eqnarray}

donde la ultima desigualdad sigue de $\vert f(t,x)\vert=\vert f(t,x)-f(t,0)\vert\leq L\vert x\vert$ y la desigualdad de Cauchy Schwartz. Integrando la desigualdad anterior de $t_0$ a $t$ tenemos

\begin{equation}

2\log\left(\frac{\vert x(t)\vert}{\vert x_0\vert}\right)\leq 2L(t-t_o)

\end{equation}

de aqui sigue una desigualdad y la otra es similar.
respondido por julio8 (2,020 puntos) Jun 3, 2015
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