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¿Cómo puedo caracterizar una curva...

+2 votos
...que se desplaza en espiral por la cara lateral de un cilindro, de arriba hacia abajo?

...que se desplaza como en el caso anterior, pero sobre un cono (con el vértice hacia abajo)?

...que se desplaza por la "cara" de un sólido de revolución con forma cónica?

...en cualquiera de los casos anteriores, pero en $R^n$, con $n > 3$

 

Gracias por su ayuda
preguntado por tanofibo (250 puntos) Ago 20, 2013 en Avanzadas
editado por tanofibo Ago 21, 2013

1 Respuesta

+2 votos
 
Mejor respuesta
Cuando dices "que se desplaza en espiral por la cara lateral de un cilindro, de arriba abajo", asumiré que "de arriba a abajo" significa que el eje del cilindro es perpendicular a $\mathbb R^3$. Entonces, si $R$ es el radio de la base del cilindro, la ecuación que buscas tiene la forma:

$\gamma(t)=(R\cos t)\hat\imath+(R\sin t)\hat\jmath-\alpha t\hat k,$

donde $\alpha$ es una constante que depende de la velocidad con la que tu curva se desplaza de arriba a abajo, en relación a la velocidad con la que "da vueltas" (si te das cuenta, los dos primeros términos de la expresión que te di describen un círculo de radio $R$, luego el tercer término es el que añade el movimiento de arriba a abajo). Nótese que estoy usando la notación "de físicos", es decir, $\hat\imath$ denota el vector unitario en la dirección del eje $x$, $(1,0,0)$; y similarmente $\hat\jmath=(0,1,0)$ y $\hat k=(0,0,1)$.

Similarmente, para el cono con el vértice hacia abajo, necesitamos modificar la ecuación de tal suerte que conforme $t$ avanza (conforme tu curva se desplaza hacia abajo), el radio $R$ decrezca. Digamos que la ecuación

$\gamma(t)=((1-t)R\cos t)\hat\imath+((1-t)R\sin t)\hat\jmath-\alpha t\hat k,$

de modo que ahora, cuando $t=0$, estamos en la base del cilindro de radio $R$, mientras que, cuando $t=1$, el radio de la sección transversal donde nos encontramos ya se encogió hasta cero. En ese momento llegamos al vértice del cono.

Para la cara de un sólido de revolución generado por una cónica, una fórmula similar funcionará. Por ejemplo, si tu cónica es una parábola, una fórmula del estilo de:

$\gamma(t)=((1-t)^2R\cos t)\hat\imath+((1-t)^2R\sin t)\hat\jmath-\alpha t\hat k$

funcionará. En general, si tienes la fórmula para la gráfica de tu cónica (por ejemplo $y=x^2$ pero también funciona para hipérbolas o círculos), reemplaza la expresión en $x$ por $1-t$ (podría ser $t$, pero eso invierte el sentido de la curva) al lado de $R$ en los dos primeros términos del "machote" de formula que hemos venido usando a lo largo de esta respuesta.

Por último, ¿en $\mathbb R^n$ para $n>3$? No hay gran problema, creo que las mismas fórmulas funcionan, sólo ten en cuenta que ahora, por ejemplo, $\hat\imath$ representa el vector $(1,0,\ldots,0)$ con $n$ entradas. De hecho puedes sustituir $\hat\imath,\hat\jmath,\hat k$ por cualesquiera tres vectores unitarios mutuamente ortogonales $u_0,u_1,u_2$ y obtienes exactamente las mismas curvas pero rotadas. Espero que esto sea de ayuda para clarificar tu intuición sobre el asunto.
respondido por David Fernández (15,540 puntos) Ago 27, 2013
seleccionada por tanofibo Ago 28, 2013
Muchas gracias por tu respuesta, David. Sí me clarifica varias cosas, y me deja nuevas interrogantes.

La primera duda es ¿en qué área de la matemática está inscrita la solución que nos compartes?

La segunda es ¿hay algún(os) texto(s) o enlace(s) en la red en donde pueda ahondar sobre estos temas?

Por ejemplo:
 begin{enumerate}
  \item Cómo cambia la curva conforme se varía el valor de $\alpha$
  \item Qué pasa si el cono está deformado (digamos que le aplicamos un cizallamiento, de modo que ya su eje no es perpendicular al plano $xy$, sino que forma con él un cierto ángulo $\beta$
  \item Otras cosas que se me pudieran ocurrir :)
\end{enumerate}

Gracias de nuevo
Nuevas dudas de parametrización sobre cono y cilindro
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