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Demostración en Teoría de grupos

+1 voto
Hola Sea $G$ un grupo con un número finito de elementos. Demuestre que para cualqueir $a\in{G}$ existe $n\in{Z^+}$ tal que $a^n=e$. Espero una ayuda. Gracias de antemano.
preguntado por Malexo (4,080 puntos) May 21, 2015 en Álgebra

1 Respuesta

+2 votos
 
Mejor respuesta
Hay varias maneras de demostrar esto. En mi opinión, la manera más elemental de hacerlo es así:

Supongamos que $|G|=N$. Si $a \in G$, dáte cuenta que no todos los elementos de la siguiente lista pueden ser distintos:

$$a, a^{2}, a^{3}, \ldots, a^{N}, a^{N+1}.$$

Ergo, existen $i, j \in \{1, \ldots, N+1\}$ (distintos) tales que $a^{i} = a^{j}$. De esto se sigue que $e = a^{j-i}$: si $j-i>0$ entonces haz $n:=j-i$; en caso contrario, haz $n:=i-j$.
respondido por José Hdz (39,570 puntos) May 21, 2015
seleccionada por Malexo May 22, 2015
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