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Demostración en Teoría de Grupos

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Hola. Sea $G$ un grupo abeliano y sean $H$ y $K$ subgrupos cíclicos finitos con $|H|=r$ y $|K|=s$. Demuestre que si $(r,s)=1$ entonces $G$ contiene un subgrupo cíclico de orden $rs$. Ojala alguien pueda colaborarme.
preguntado por Malexo (4,080 puntos) May 25, 2015 en Álgebra

1 Respuesta

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Mejor respuesta
Si $H = \langle h \rangle$ y $K = \langle k \rangle$ entonces el orden de $h$ es $r$ y el orden de $k$ es $s$. Puesto que $(r,s)=1$, el teorema de Lagrange nos permite asegurar que $H \cap K = \langle e \rangle.$

Demostraremos a continuación que el orden del elemento $hk$ es exactamente $r  s$. En primer lugar, como $G$ es abeliano entonces es claro que $$(hk)^{r s} = h^{r  s}k^{r s}= e.$$ Supongamos ahora que $N \in \mathbb{N}$ es tal que $(hk)^{N} =  e.$ De esa igualdad y la conmutatividad de $G$ se desprende que $$h^{N} = k^{-N}.$$ De esto y el hecho de que $H \cap K = \langle e \rangle$  se obtiene a su vez que $h^{N} = e = k^{N}$. Las igualdades anteriores y una propiedad básica del orden de un elemento en un grupo (si $G$ es un grupo y $a \in G$ es tal que $a^{M}=e$ para algún $M \in \mathbb{Z}$ entonces el orden del elemento $a$ es un divisor de $M$) implican que $r|N$ y $s|N$: como $r$ y $s$  son coprimos entonces de $r|N$ y $s|N$ se desprende que $rs | N$ y, por consiguiente, $r  s \leq N$.

Lo hecho en el párrafo anterior nos permite concluir que $\langle hk \rangle$ es un subgrupo de $G$ de orden $r  s$, l. c. q. d..
respondido por José Hdz (39,570 puntos) May 25, 2015
editado por José Hdz May 26, 2015
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