• Registro
Foro de preguntas y respuestas de matemáticas, de cualquier nivel. Cuánto más interesantes, divertidas o intrépidas, mejor.
Aviso: Te invitamos a conocer la página de Facebook de la UCIM

Ganas puntos al hacer preguntas, contestarlas y, sobre todo, si tu respuesta es seleccionada como la mejor.
Registrate como usuario para participar en el foro. También puedes utilizar tu identidad de FB Utiliza el botón azul para ingresar (si usas tu identidad de FB y estás logeado en FB, automáticamente te reconoce).

El irracional tiene una página en FB. El Irracional






Máximo número de conjuntos obtenibles usando complemento, interior y cerradura.

0 votos
Esta pregunta es la última del segundo capítulo del libro Análisis Clásico Elemental, de Jerrold Madsen

Dado un conjunto $A$ en un espacio métrico $M$, ¿cuál es el número máximo de subconjuntos que se pueden obtener mediante la aplicación sucesiva de las operaciones de cerradura, interior y complemento al conjunto $A$ (en cualquier orden)? Proporcionar un ejemplo de un conjunto que alcance dicho máximo.

Yo tengo un ejemplo que usa 7 operaciones sucesivas: $M=\mathbb{R}$, $A=[0,1)\cup(1,2]\cup\{3\}$, usando complemento y cerradura de manera alternada hasta llegar a las 7 operaciones.

¿Será 7 el máximo? ¿Puede alguien encontrar un ejemplo de un conjunto al que le podamos aplicar más operaciones sin repetir subconjuntos?
preguntado por Yarza (3,400 puntos) Jun 3, 2015 en Torito

2 Respuestas

0 votos
 
Mejor respuesta
Hice un diagrama y me parece que ya sale la respuesta:

$$
\xymatrix{
   &  &  &  & int(cl(cl(A)^c))\\
   &  &  & cl(cl(A)^c)\ar[ru] &   \\
   &  & cl(A)^c \ar[ru]&  &   \\
   &  cl(A)\ar[ru]\ar[r]&int(cl(A)) \ar[r] &cl(int(cl(A))) &   \\
   A \ar[ru]\ar[r]\ar[rd]& int(A)\ar[r]\ar[rd] & int(A)^c \ar[r]&int(int(A)^c) \ar[r]& cl(int(int(A)^c))  \\
   &  A^c& cl(int(A))\ar[r] & int(cl(int(A))) &   \\
}
$$

Usando las siguientes identidades $cl(int(cl(int(A))))=cl(int(A))$, $int(cl(int(cl(A))))=int(cl(A))$, $int(A^c)=cl(A)^c$, $cl(A^c)=int(A)^c$, $int(int(A))=int(A)$, $cl(cl(A))=cl(A)$ podemos ver que cada punta de una rama al aplicar una operacion cualquiera de las descritas obtendremos nuevamente uno delos conjuntos ya obtenidos. En particular  para el conjunto dado en el enunciado podemos formar la siguiente secuencia usando el diagrama anterior:

$A\to A^c\to cl(A^c)=int(A)^c\to int(A)\to cl(int(A))\to cl(int(A))^c=int(int(A)^c)$

$\to cl(int(int(A)^c))\to cl(int(int(A)^c))^c=int(cl(int(A)))$

donde estabiliza la secuencia.
respondido por julio8 (2,020 puntos) Jun 6, 2015
editado por fgonzalez Jun 11, 2015
mmm no salio mi diagrama, copienlo en un archivo latex y se verá mejor.
0 votos
Mira este link:

http://gaussianos.com/el-teorema-clausura-complemento-de-kuratowski/

No te lo resuelve del todo pero te va a dar muy buenas ideas.
respondido por David Cardona M (770 puntos) Jun 9, 2015
Licencia Creative Commons
Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 2.5 México.

powered by UCIM

...