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Hay funciones no integrables cuya gráfica tenga contenido (de Jordan) mayor a cero?

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Es muy conocido, y fácil de mostrar, que si una función real sobre un intervalo [a,b], es integrable Riemann, entonces su gráfica (como conjunto de R2) tiene contenido de Jordan cero. Desde luego, es fácil comprobar también que la afrimación recíproca es falsa (basta la función típica de Dirichlet en el [0,1]). La pregunta es: ¿existe una función acotada no integrable Riemann (definida sobre algún intervalo [a,b]), cuya gráfica tenga contenido de Jordan mayor a cero?

preguntado por Memo Garro (2,550 puntos) Jul 23, 2015 en Avanzadas

1 Respuesta

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No, la gráfica de una función solo tiene dos opciones: o no tiene contenido de Jordan, o tiene contenido de Jordan cero. Esto es porque la gráfica de una función siempre tiene interior vacío y el contenido de Jordan de un conjunto $X$ solo existe si el interior de $X$ y la clausura de $X$ tienen la misma medida de Lebesgue, en cuyo caso, esa medida es el contenido de Jordan de $X$.
respondido por Omar Antolín (33,060 puntos) Jul 24, 2015
Bien! Eso es cierto. Pero ahora, siendo más específico: ¿Existe una función sobre algún [a,b], no integrable Riemann, pero cuya gráfica (como conjunto del plano) tenga contenido exterior de Jordan no nulo?
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