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¿Existe una función acotada pero cuya gráfica tenga contenido exterior de Jordan no nulo?

0 votos
Sabemos que la gráfica de una función real de variable real, como conjunto del plano, tiene contenido de Jordan nulo, o bien, no tiene contenido de Jordan (no es medible Jordan). Ello se debe a que el contenido interior de Jordan de la gráfica es siempre nulo. La pregunta es: ¿Existe una función acotada sobre algún [a,b] cuya gráfica (sobre el plano) tenga contenido exterior de Jordan no nulo?
preguntado por Memo Garro (2,550 puntos) Jul 24, 2015 en Preguntas

1 Respuesta

+1 voto
Sí hay funciones cuya gráfica tiene contenido de Jordan positivo, por ejemplo, podemos construir una función cuya gráfica es densa en $[0,1] \times [0,1]$:

Hay una cantidad numerable de discos cuyo centro tiene coordenadas racionales entre 0 y 1 y cuyo radio es racional, escojamos una numeración de ellos $D_1, D_2, \ldots$. Definimos una función $f : [0,1] \to [0,1]$ de manera que la gráfica intersecte a todos los $D_i$, inductivamente como sigue:

En el $n$-ésimo paso, escogemos un punto $(x_n,y_n) \in D_n$ tal que $x_n$ no este el domino de la parte de $f$ que ya definimos (siempre se puede porque los puntos de $D_n$ tienen una infinidad de coordenadas $x$ distintas y solo hemos definido $n-1$ valores de $f$ hasta el momento) y declaramos que $f(x_n) = y_n$.

Esto solo define $f$ en un conjunto numerable de valores; eligimos los demás arbitrariamente.
respondido por Omar Antolín (33,080 puntos) Jul 25, 2015
editado por Omar Antolín Jul 25, 2015
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