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¿Qué son los números reales?

+1 voto

¿Qué son los números reales?

Esta pregunta se puede contestar de más una manera, por ejemplo, mostrando alguna de las construcciones  matemáticas de los números reales. Me gustaría describir obtener una descripción sencilla, que incluso alguien que no estudia matemáticas pudiera entender.

preguntado por aubin (2,050 puntos) Ago 12, 2015 en ¿Qué es?

3 Respuestas

0 votos
Podria decir que los números reales es todo aquel ente que puede relacionarse con algo fisico.
respondido por Ramiro Milu GaBa (2,660 puntos) Ago 18, 2015
Me parece muy ambigua esta respuesta. Los números complejos también se pueden relacionar con algo físico. Además, un "ente" puede ser cualquier cosa.
+3 votos
Voy a dar mi respuesta como lógico y conjuntólogo que soy, a ver si convence. Los números reales se pueden pensar de muchas formas. La primera y más inmediata, un número real es una clase de equivalencia entre sucesiones de Cauchy con términos racionales. Pero a veces, lo que nos interesa es únicamente hablar de la recta real en términos de su cardinalidad, por lo cual la frase "los números reales" puede denotar cualquier conjunto cuya cardinalidad sea la del continuo (es muy frecuente entre conjuntólogos decir "sea $X$ un real", cuando en realidad estamos pensando "sea $X\subseteq\mathbb N$").

En otras ocasiones, no sólo estamos interesados en el conjunto de números reales en términos de su cardinalidad, sino que también nos interesa su topología, pero se nos dificulta estudiarlos si los pensamos como expansiones decimales. En este caso, hay dos opciones: fijarnos únicamente en los números irracionales (al cabo los racionales son un conjunto numerable), con la topología heredada, en cuyo caso el espacio resultante es homeomorfo a $\mathbb N^{\mathbb N}$ (hay mucha gente que llama a los elementos del espacio de Baire $\mathbb N^{\mathbb N}$ "the logician's reals", los reales de los lógicos); y la otra opción es fijarnos en todos los reales que no sean racionales diádicos (al cabo estos últimos tan sólo son un conjunto numerable), en cuyo caso obtenemos un espacio homeomorfo a $2^{\mathbb N}$, que a su vez es homomorfo al conjunto de Cantor (también es muy frecuente entre conjuntólogos decir "sea $f$ un real", cuando en realidad estamos pensando en $f$ como un elemento del espacio de Cantor $2^{\mathbb N}$, es decir, una sucesión infinita de $0$s y $1$s).

Los reales no son absolutos: si $V$ es el universo de la teoría de conjuntos, es posible pasar a un subuniverso $W\subseteq V$ que satisfaga todos los axiomas de teoría de conjuntos, pero con menos reales que $V$ (es decir, que $\mathbb R\cap W\subsetneq\mathbb R\cap V$). Recíprocamente, si extendemos nuestro universo de conjuntos $V$ mediante la técnica del forzamiento, para obtener $V[G]$, típicamente nuestro "universo extendido" contendrá muchos reales nuevos, que originalmente no existían. En resumen, desde el punto de vista del conjuntólogo, pocos conceptos pueden ser más flexibles y maleables que el de un número real.
respondido por David Fernández (15,540 puntos) Nov 18, 2016
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Para llevar un poco la contraria a lo que dice Ramiro, lo único que podemos usar cuando estudiamos el mundo real son números enteros: Podemos contar cosas. Incluso cuando usamos decimales, a final de cuentas, estamos contando cantidades enteras. Por ejemplo, si mides un grano de arena y te sale 0.17 mm, en realidad tu regla tiene capacidad para medir centésimas de milímetro, y observaste que el granito mide 17 de éstas. Nunca vamos a medir un objeto real y obtener, digamos, 3.14159265358979... cm.

Además de contar, podemos comparar los números que obtenemos. Un grano de arena que mide 0.068 mm (o 68 micras) es 2/5 del tamaño del grano anterior. En otras palabras, comparando números enteros, descubrimos la necesidad de inventar los racionales. Ésto está muy bien, porque dos enteros cualesquiera pueden ser comparados con una cantidad finita de esfuerzo, y todo coordina para que no tengamos inconsistencias.

Pero al avanzar en el estudio del mundo real descubrimos que nuestras medidas no son exactas: el grano de arena podría pasarse del 17 en la regla sin llegar al 18 (o cuando usamos un microscopio para refinar una medida previa). ¡Aún peor! si modelamos objetos reales usando figuras matemáticas, ciertas medidas no pueden ser representadas; por ejemplo, la diagonal de un cuadrado de lado 1.

 

Los números reales son una manera de asegurarnos un lenguaje para describir todas esas situaciones donde una medida nunca está perfectamente representada por una fracción. El gran chiste es que una vez mas, todo coordina para que no existan contradicciones, y obtenemos un sistema de numeración con el cual describir (¡finalmente!) el mundo real.

respondido por Rodrigo Pérez (9,970 puntos) Ene 24, 2017
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