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Problema de anillos

+1 voto
Hola. Sea R un anillo y sea a un elemento fijo de R. Sea $R_a$ el subanillo de R que es la intersección de todos los subanillos de R que contienen a. El anillo $R_a$ es el subanillo generado por a. Muésetrese que el grupo abeliano $<R_a, +>$ está generado por $\{ a^n | n \in Z^+ \}$. Espero su gran ayuda. Gracias de antemano.
preguntado por Malexo (4,080 puntos) Ago 23, 2015 en Álgebra

1 Respuesta

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Mejor respuesta
Sea $A:=\{a^n:n\in\mathbf Z^+\}$ y sea $\langle G,+\rangle$ el subgrupo de $\langle R,+\rangle$ generado por $A.$ Como $a\in R_a,$ entonces $a^n\in R_a,$ para cada entero positivo $n,$ por lo que necesariamente $G\subseteq R_a$ (pues $G$ es el subgrupo más "pequeño" que contiene a $A$).

 Ahora, como $G$ es el conjunto de todas las combinaciones lineales de un número finito de elementos de $A$ y de sus inversos (https://es.m.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra/Teor%C3%ADa_de_grupos/Grupos_generados_y_grupos_c%C3%ADclicos), tenemos, por la distributividad en $R,$ que el producto es cerrado en $G,$ i.e. si $x$ y $y$ están en $G,$ entonces $x\cdot y\in G$ (pues el producto de combinaciones lineales de elementos de $A$ y sus inversos sigue siendo una combinación lineal de elementos de $A$ y sus inversos). Por lo tanto, como es claro que la multiplicación es asociativa y distributiva en $G,$ entonces $G$ es un anillo y necesariamente $R_a\subseteq G$ (pues es claro que $a\in G$ y además $R_a$ es el anillo más "pequeño" que contiene a $a$). Luego, se sigue que $R_a=G.$
respondido por Carlos Jalpa (11,200 puntos) Ago 25, 2015
editado por Carlos Jalpa Ago 25, 2015
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