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Muéstrese que es un anillo de división

+1 voto
Considerese $<S, + , - >$ donde S es conjunto y las operaciones son binarias en S tales que

$<S, +>$ es un grupo,

$<S*, - >$ es grupo,

$a(b+c)=(ab)+(ac)$ y $(a+b)c = (ac)+(bc)$.

Muéstrese que <S, + , - > es anillo con división. Me dan la sugerencia de aplicar las leyes distributivas a $(1+1)(a+b)$ para probar la conmutatividad de la suma, pero no logro entender. Ojala alguien pueda ayudarme. Gracias.
preguntado por Malexo (4,080 puntos) Ago 23, 2015 en Álgebra
Tienes que $$(1+1)(a+b)=1\cdot(a+b)+1\cdot(a+b)=a+b+a+b$$ y también $$(1+1)(a+b)=1\cdot a+1\cdot a+1\cdot b+1\cdot b=a+a+b+b,$$ por lo que, como $\langle S,+\rangle$ es un grupo (esto implica que puedes "cancelar" los "extremos" de ambas expresiones, pues son iguales), entonces $b+a=a+b.$
Muchas gracias Carlos.
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