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Demostrar que es subanillo

+1 voto
Sea $R$ un anillo y sea $a$ un elemento fijo de $R$. Sea $I_a = \{x \in R | ax = 0 \}$. Muéstrese que $I_a$ es un subanillo de $R$. Ojala puedan ayudarme. Gracias.
preguntado por Malexo (4,080 puntos) Ago 26, 2015 en Álgebra

1 Respuesta

+2 votos
 
Mejor respuesta
Primero, ten en cuenta que $a\cdot0=0,$ pues $a\cdot0=a\cdot(0+0)=a\cdot0+a\cdot0,$ por lo que necesariamente $a\cdot0=0,$ que implica que $0\in I_a,$ i.e. el elemento neutro de la suma está en $I_a$ (y más aún, dado cualquier anillo $R$ y dado cualquier $x\in R$ se tiene que $x\cdot0=0\cdot x=0,$ que puedes mostrar de manera análoga). Además, si $x$ y $y$ son elementos arbitrarios de $I_a,$ entonces
$$
\begin{aligned}
a(x+y)&=ax+ay\\&=0+0\\&=0,
\end{aligned}
$$
por lo que $x+y\in I_a,$ i.e. la suma es cerrada en $I_a.$ Como es claro que la suma es conmutativa y asociativa en $I_a,$ entonces basta verificar que el inverso aditivo de cualquier elemento de $I_a$ está en $I_a.$ Sea $x\in I_a$ arbitrario. Por definición, se tiene que $ax=0$ y luego
$$
\begin{aligned}
a(-x)&=0+a(-x)\\&=ax+a(-x)\\&=a(x+(-x))\\&=a\cdot0\\&=0,
\end{aligned}
$$
por lo que $-x\in I_a.$

 Ahora, sean $x$ y $y$ elementos arbitrarios de $I_a.$ Por definición $ax=0,$ por lo que $0=(ax)\cdot y=a\cdot(xy),$ que nos dice que $xy\in I_a$ (la multiplicación es cerrada en $I_a$). Como es claro que la multiplicación es asociativa y distributiva (con respecto a la suma) en $I_a,$ concluimos que $I_a$ es un subanillo de $R.$
respondido por Carlos Jalpa (11,200 puntos) Ago 26, 2015
seleccionada por Malexo Ago 26, 2015
Más aún, es un ideal derecho (en la parte de la cerradura bajó producto no se usa el hecho de que $y\in I_a$).
Exactamente, gracias @EliasMochan
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