• Registro
Foro de preguntas y respuestas de matemáticas, de cualquier nivel. Cuánto más interesantes, divertidas o intrépidas, mejor.
Aviso: Te invitamos a conocer la página de Facebook de la UCIM

Ganas puntos al hacer preguntas, contestarlas y, sobre todo, si tu respuesta es seleccionada como la mejor.
Registrate como usuario para participar en el foro. También puedes utilizar tu identidad de FB Utiliza el botón azul para ingresar (si usas tu identidad de FB y estás logeado en FB, automáticamente te reconoce).

El irracional tiene una página en FB. El Irracional






Demostrar que el siguiente espacio es metrico.

0 votos
Definimos $d: R^2 --> R$ como $d[(a_1, b_1), (a_2, b_2)] = máx \{ |a_1 - a_2|, |b_1 - b_2| \}$ ¿Será $d$ una métrica en $R^2$? Gracias de antemano.
preguntado por Malexo (4,080 puntos) Ago 31, 2015 en Álgebra
editado por Malexo Ago 31, 2015

1 Respuesta

0 votos
 
Mejor respuesta

Propiedad $1.$ $d(\mathbf{x},\mathbf{y})>0$ si $\mathbf{x\neq y}$ y $d(\mathbf{x},\mathbf{x})=0.$

Sean $\mathbf{x}=(x_1,x_2)$ y $\mathbf{y}=(y_1,y_2)$ elementos distintos de $\mathbb R^2.$ Luego se tiene que,o bien $x_1\neq y_1,$ o bien $x_2\neq y_2$ (o ambos), por lo que $d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|\}>0$ pues $||$ es una métrica en $\mathbb R.$ Además, si $\mathbf{x}=(x_1,x_2)$ es un elemento arbitrario de $\mathbb R^2$ entonces $d(\mathbf{x},\mathbf{x})=\max\{|x_1-x_1|,|x_2-x_2|\}=\max\{0,0\}=0.$ 

Propiedad $2.$ $d(\mathbf{x},\mathbf{y})=d(\mathbf{y},\mathbf{x}).$

Esta propiedad es clara pues $||$ es una métrica en $\mathbb R$ (y por lo tanto es conmutativa).  

Propiedad $3.$ $d(\mathbf{x},\mathbf{y})\leq d(\mathbf{x},\mathbf{z})+d(\mathbf{z},\mathbf{y}).$

Sean $\mathbf{x}=(x_1,x_2),\mathbf{y}=(y_1,y_2),\mathbf{z}=(z_1,z_2)\in\mathbb R^2.$ Luego 
$$
\begin{aligned}
d(\mathbf{x},\mathbf{z})+d(\mathbf{z},\mathbf{y})&=\max\{|x_1-z_1|,|x_2-z_2|\}+\max\{|z_1-y_1|,|z_2-y_2|\}\\ \\&\geq|x_1-z_1|+|z_1-y_1|\\ \\&\geq|x_1-y_1|\hspace{23pt}\text{(pues $||$ es una métrica en $\mathbb R$)}
\end{aligned}
$$ y de forma análoga se obtiene que $d(\mathbf{x},\mathbf{z})+d(\mathbf{z},\mathbf{y})\geq|x_2-y_2|,$ que implica que $d(\mathbf{x},\mathbf{z})+d(\mathbf{z},\mathbf{y})\geq\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|\}=d(\mathbf{x},\mathbf{y}).$

Por lo tanto $d$ es una métrica en $\mathbb R^2.$

respondido por Carlos Jalpa (11,200 puntos) Sep 1, 2015
editado por Carlos Jalpa Sep 2, 2015
Licencia Creative Commons
Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 2.5 México.

powered by UCIM

...