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¿Cómo determinar los puntos límites del siguiente subconjunto de $R^2$?

+2 votos
Hallar los puntos límites del conjunto $A = \{(x, y) \in R^2 | xy = 1 \}$ Yo al ver la gráfica me dí cuenta que todos los elementos (puntos) del conjunto son puntos de acumulación de A, pero no he podido demostrarlo. Sé que tenemos que encontrar los puntos de $R^2$ tales que $V_{r}(x,y)\cap A\neq\emptyset$ (excluyendo el centro de la vecinidad, por supuesto), para algún $r>0$. Espero puedan ayudarme. Gracias.
preguntado por Malexo (4,080 puntos) Sep 15, 2015 en Análisis real
Como mencionas, la gráfica de la función $y=1/x$ nos dice que $A$ es perfecto (i.e. es cerrado y es tal que todo punto de $A$ es un punto límite de $A$). ¿Estás familiarizado con el concepto de "continuidad"?, porque el problema se resuelve de una manera bastante sencilla utilizándolo. Aunque si lo que buscas es mostrar que $A$ es cerrado de manera "directa" (i.e. utilizando vecindarios), no es tan "sencillo".
Lo que pasa es que en el curso de Análisis I, no he visto limites de sucesiones (y otras funciones) y continuidad. Apenas voy iniciando y lo único que hemos estado viendo son conceptos de Topología (Capitulo de Rudín), donde vemos conjuntos abiertos, cerrados, puntos interiores, y algunos Teoremas, por lo que necesitaría resolverlo de manera directa. Al parecer es casi imposible...
No creo que sea imposible. Deja veo qué se me ocurre
.
Mira mi respuesta en el siguiente link (en el transcurso de la semana la escribiré aquí): http://math.stackexchange.com/questions/1437337/find-the-limit-points-of-a-x-y-in-mathbbr2-xy-1-subset-math/1457732#1457732

2 Respuestas

+1 voto
 
Mejor respuesta

Como te has dado cuenta, el conjunto de todos los puntos límites de $A$ es $A$ (a un conjunto cerrado que sea tal que todos sus puntos son puntos límite del conjunto se le llama conjunto perfecto). Para mostrarlo, dividiré la prueba en dos partes.

$A$ es cerrado.

Sea $(x,y)$ un punto arbitrario de $\mathbb R^2\setminus A.$ Luego, o bien $xy>1$ o bien $xy<1.$

Caso I. $xy>1.$ Como $\mathbb N$ no es acotado superiormente, existe un natural $n$ tal que $n>1/(xy-1)\;\iff\;xy>1+(1/n).$ Ahora define $\delta:=\min\left\{1,\dfrac{1}{n(1+|x|+|y|)}\right\}.$ Si $(z,w)$ es cualquier punto de la vecindad $V_{\delta}(x,y)$ entonces 
$$
\begin{aligned}
|xy-zw|&=|x(w-y)+(z-x)(w-y)+y(z-x)|\\\\&\leqslant|x||w-y|+|z-x||w-y|+|y||z-x|\\\\&\leqslant|x|\|(z-x,w-y)\|+ \|(z-x,w-y)\|^2+|y| \|(z-x,w-y)\|\\\\&< |x|\delta+\delta^2+|y|\delta\\\\&=(|x|+\delta+|y|)\delta\\\\&\leqslant(|x|+1+|y|)\delta\\\\&\leqslant(|x|+1+|y|)\dfrac{1}{n(|x|+|y|+1)}\\\\&=\dfrac{1}{n},
\end{aligned}
$$
por lo que $|xy-zw|<1/n.$ Luego como $xy-zw\leqslant|xy-zw|$ se tiene $xy-zw<1/n$ y además como $1+1/n<xy$ entonces $1+1/n-zw<1/n,$ que implica que $1<zw$ y se sigue que $(z,w)\in\mathbb R^2\setminus A.$ Por lo tanto, ningún punto de la vecindad $V_{\delta}(x,y)$ es punto de $A.$

Caso II. $xy<1.$ Procede como en el primer caso (pero con un ligero cambio en el argumento).

Concluimos que, en cualquier caso, cualquier punto de $\mathbb R^2\setminus A$ es un punto interior de $\mathbb R^2\setminus A$ y por lo tanto $\mathbb R^2\setminus A$ es abierto, que implica que $A$ es cerrado.


Cualquier punto de $A$ es un punto límite de $A.$
 

Sea $(x,1/x)$ un punto arbitrario de $A,$ con $x>0$ (puedes fácilmente adaptar el argumento para el caso $x<0$), escoge $\delta$ tal que $0<\delta<\sqrt{2}x$ y define $\varepsilon:=\min\left\{\dfrac{\delta}{\sqrt2},\;\dfrac{x(x-\delta/\sqrt2)}{\sqrt2}\right\}.$ Se sigue que si $0<|y-x|<\varepsilon$ entonces 
$$
\begin{aligned}
\left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\right|&=\dfrac{|x-y|}{|x||y|}\\\\&<\dfrac{\varepsilon}{|x||y|}\\\\&\leqslant\dfrac{x(x-\delta/\sqrt2)\delta}{xy\sqrt2}\\\\&<\dfrac{\delta}{\sqrt2}
\end{aligned}
$$
y por lo tanto el punto $(y,1/y)$ está en el vecindario $V_{\delta}(x,1/x)$ y como $(x,1/x)\neq(y,1/y)$ concluimos que $(x,1/x)$ es un punto límite de $A$ y como $(x,1/x)$ es arbitrario, concluimos que cualquier punto de $A$ es un punto límite de $A.$


Por lo tanto, el conjunto de todos los puntos límite de $A$ es $A.$

respondido por Carlos Jalpa (11,200 puntos) Oct 2, 2015
editado por Carlos Jalpa Oct 2, 2015
¡Muchisimas gracias, Carlos!
–1 voto
Define la función $\varphi:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ en acuerdo a la regla $\varphi(x,y) = xy.$ Es claro que $\varphi$ es continua y que $A$ es la preimagen del conjunto cerrado $\{0\}$ ante $\varphi,$ por lo que $A$ es cerrado; en particular, $A$ contiene a sus puntos de acumulación. Para demostrar que todo punto en $A$ es un punto de acumulación de $A,$ observa que si $(x,y)$ pertenece a $A,$ también lo hace el punto $(x + \frac{1}{n}, 1 - \frac{y}{n + y})$ que, al hacer $n \to \infty$, converge hacia $(x,y).$ CQFD
respondido por Guillermo Martinez (2,240 puntos) Dic 22, 2015
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