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Si $a \in G$ donde $G$ es un grupo y $a^m = e$. Pruébese que $o(a)|m$

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Si $a \in G$ y $a^m = e$. Pruébese que $o(a)|m$. Ojala puedan colaborarme. Gracias.
preguntado por Malexo (4,080 puntos) Sep 24, 2015 en Álgebra

1 Respuesta

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Mejor respuesta
Por el Algoritmo de la División en $\mathbb{Z}$ existen enteros $q$ y $r$ tales que

$m = o(a) \cdot q + r$

y donde se cumple además que $0 \leq r < o(a)$.

Si $o(a)$ no dividiera a $m$ entonces $r \in (0, o(a))$; luego, al tenerse que

$a^{r} = a^{m - o(a)q} = a^{m} (a^{o(a)})^{(-q)} = e$

se tendría una contradicción con la minimalidad de $o(a)$.
respondido por José Hdz (39,490 puntos) Sep 24, 2015
seleccionada por Malexo Sep 24, 2015
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