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Determinar si una función es isomorfismo

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Sea $G$ un grupo y sean $H$, $K$ dos subgrupos tal que $H \cap K = \{ e \}$, $HK = G$, y tal que $xy = yx$ para toda $x \in H$ y $y \in K$. Entonces la aplicación $H \times K ---> G$ tal que $(x, y) ---> xy$ es un isomorfismo. Espero puedan colaborarme. Gracias de antemano.
preguntado por Malexo (4,080 puntos) Sep 27, 2015 en Álgebra
editado por Malexo Sep 27, 2015
Conviene que cambies $H x K$ por $H \times K $

1 Respuesta

+2 votos
 
Mejor respuesta
1) La aplicación  
$f: H \times K \longrightarrow{G}, (h,k)\mapsto hk$
es un morfismo de grupos.
En efecto, 
$$f((x,y)(z,w))=f((xz,yw))=xzyw=xyzw=f((x,y))f((z,w)),$$ 
así, $f$ es morfismo de grupos (en la penúltima igualdad usamos 
que $xy=yx$ para todos $x\in H$ y $y\in K$).
 
2) $f$ es monomorfismo.
Suponga que $f((x,y))=xy=e$. Entonces $H \ni x=y^{-1}\in K$ por lo tanto 
$x=y^{-1}=e$ i.e. $x=y=e$.
3) $f$ es epimorfismo.
Esto es consecuencia de que $HK=G$.
 
 
respondido por Izzyro (6,260 puntos) Sep 27, 2015
seleccionada por Malexo Sep 27, 2015
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