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¿Por qué se dice que la longitud de los numeros Naturales es cero?

+1 voto
Es de Analisis Matemático. Me gustaría saber el significado de longitud o medida (algo así), no sé porque se dice que la longitud de los naturales es cero, y tambien la de los racionales. Y ¿en que libro podría estudiar ese tema? Ojala puedan sacarme de la duda. Muchas gracias.
preguntado por Malexo (4,080 puntos) Oct 2, 2015 en Análisis real

1 Respuesta

+5 votos
 
Mejor respuesta

Hola:

El tema al que te refieres es de teoría de la medida. Una medida es una manera de generalizar el área de los objetos para poder decir cuánto "peso" tienen de acuerdo a algún criterio que te interese. 

Las medidas están definidas en $\sigma$-anillos de un conjunto $X$, esto es, en una colección $\mathcal{A}$ de subconjuntos de $X$ que es cerrado bajo complemento y unión contable y, además, contiene a $X$, y por ende a $\emptyset$. El especificar $\mathcal{A}$ te está diciendo cuáles son los conjuntos a los que puedes medir de esta manera.

Las medidas $\mu$ deben satisfacer ciertas propiedades intuitivas que uno esperaría cualquier noción de área satisfaga: 

  • Deben ser positivas y, por lo general, suele aceptarse que tome valor infinito a veces. 
  • La medida del vacío es cero.
  • Son contablemente aditivas, esto es, $\mu(A_1\cup A_2\cup...) = \displaystyle\sum_{n = 1}^\infty \mu(A_i)$, siempre que los $A_i$ sean disjuntos dos a dos. Si te imaginas esto en dibujos, sólo dices que el área de regiones ajenas es el área total de cada región, no hay traslape.

El trabajo de definir $\sigma$-algebras apropiadas y medidas en ellas que sirvan a los propósitos apropiados que uno tiene en mente es un problema interesante, y hay varios ejemplos de medidas clásicas que se utilizan con mucha frecuencia. 

 

La medida a la que tú te refieres, dónde los racionales, los naturales/enteros, y en general cualquier conjunto contable tiene medida cero se llama la medida de Lebesgue de la recta real. Su construcción es algo complicada, pues tiene que arreglar el hecho de que no puedes asignarle una medida a todos los subconjuntos de $\mathbb{R}$ de manera consistente. Esto es, existen conjuntos en $\mathbb{R}$ que no son medibles y el ejemplo clásico creo se llama el conjunto de Vitali.

 

Para arreglar este problema necesitas comenzar con una colección de conjuntos que quieras sean medibles y que además sepas de antemano cuánto quieres que midan. En el caso de la medida de Lebesgue, estos conjuntos son los intervalos $(a, b)$ y su medida es $\lambda(a, b) = b - a$. Luego, necesitas extender esta medida a todos los subconjuntos de $\mathbb{R}$ de alguna forma que, aunque no te de una medida, pues ya dijimos que no es posible hacer eso, te de una asignación suficientemente bien comportada. Esta extensión se define como

 

$\lambda^*(A) = \inf \left(\displaystyle\sum_{i = 1}^{\infty}\lambda(a_i, b_i) \mid A\subset \bigcup (a_i, b_i) \right)$.

 

Como el proceso anterior no te da una medida necesitas hallar cierta colección de conjuntos donde su restricción si sea una medida. Este conjunto se le llama la colección de los conjuntos $\lambda^*$medibles $\mathcal{M}$. En el caso de la medida de Lebesgue, se conocen como los conjuntos Lebesgue medibles

 

Todo este proceso lo que se encargó de hacer fue de construir el conjunto un conjunto suficientemente grande donde tu medida original sea consistente. El hecho de que todo esto funcione requiere de varias demostraciones, y es conocido como el proceso de extensión de Caratheodory y puede hacerse con mucha más generalidad que sólo la recta real.

Para el caso que preguntas de los naturales (y los racionales), lo que ocurre es que cuando construyes $\lambda^*$ siempre puedes cubrirlos con una cubierta de intervalos cuya suma de longitudes sea menor a cualquier $\epsilon$, por ejemplo, cubre al natural $k$ con un intervalo de longitud $\frac{\epsilon}{2^k}$. De cierta forma, la medida de Lebesgue está "midiendo" que tanto te pueden apretar los intervalos abierto y lo que estamos viendo es que a los naturales los pueden apretar tanto como quieran.

Espero haberte ayudado un poco con tus preguntas, es algo difícil explicar todo esto deprisa...pero con práctica y ejemplos se vuelve mucho más claro. Hay muchos libros donde puedes estudiar esto, un libro que a mí me gusta es "Measure and Integration" de Sterling Berberian, aunque están los clásicos de Rudin y de Apostol. 

 

respondido por Malors Espinosa (5,800 puntos) Oct 3, 2015
seleccionada por Malexo Oct 4, 2015
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