• Registro
Foro de preguntas y respuestas de matemáticas, de cualquier nivel. Cuánto más interesantes, divertidas o intrépidas, mejor.
Aviso: Te invitamos a conocer la página de Facebook de la UCIM

Ganas puntos al hacer preguntas, contestarlas y, sobre todo, si tu respuesta es seleccionada como la mejor.
Registrate como usuario para participar en el foro. También puedes utilizar tu identidad de FB Utiliza el botón azul para ingresar (si usas tu identidad de FB y estás logeado en FB, automáticamente te reconoce).

El irracional tiene una página en FB. El Irracional






Cómo demostrar que $A \subset \mathbb{R}$ no es conexo $\leftrightarrow A$ no es intervalo.

+1 voto
La definición que tengo es: Un espacio métrico es conexo si no es unión de dos subconjuntos no vacíos y separados. Espero puedan ayudarme. Saludos.
preguntado por Malexo (4,080 puntos) Oct 6, 2015 en Análisis real

1 Respuesta

+1 voto
 
Mejor respuesta

Si $A$ no es un intervalo entonces existen $x,y,z\in\mathbb R$ tales que $x,y\in A,$ $x<z<y$ y $z\notin A.$ Si $B:=(-\infty,z)\cap A$ y $C:=(z,\infty)\cap A$ entonces $A=B\cup C$ y $\overline{B}\cap C=B\cap\overline{C}=\varnothing,$ por lo que $A$ es disconexo.

Ahora supón que $A$ es disconexo. Sean $X$ y $Y$ conjuntos separados y no vacíos tales que $X\cup Y=A.$ Toma $a\in X$ y $b\in Y$ y supón sin pérdida de generalidad que $a<b.$ Define $c:=\sup X\cap[a,b).$ Luego, como $\overline X$ es cerrado, entonces $c\in\overline X$ y por lo tanto $c\notin Y.$

$\textbf{Caso I.}$ Si $c\notin X$ entonces $a<c<b$ y $c\notin A,$ por lo que $A$ no puede ser un intervalo.

$\textbf{Caso II.}$ Si $c\in X$ entonces $c\notin\overline Y$ y se sigue que $c$ es un punto interior de $\mathbb R\setminus\overline Y$ y entonces existirá un $q$ tal que $a<q<b$ y $q\notin A,$ que implica que $A$ no puede ser un intervalo.


Por lo tanto $A$ no es un intervalo.

 

En lo de arriba dejé varios detalles para que tú los llenes.

respondido por Carlos Jalpa (11,200 puntos) Oct 7, 2015
editado por Carlos Jalpa Oct 10, 2015
Licencia Creative Commons
Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 2.5 México.

powered by UCIM

...