• Registro
Foro de preguntas y respuestas de matemáticas, de cualquier nivel. Cuánto más interesantes, divertidas o intrépidas, mejor.
Aviso: Te invitamos a conocer la página de Facebook de la UCIM

Ganas puntos al hacer preguntas, contestarlas y, sobre todo, si tu respuesta es seleccionada como la mejor.
Registrate como usuario para participar en el foro. También puedes utilizar tu identidad de FB Utiliza el botón azul para ingresar (si usas tu identidad de FB y estás logeado en FB, automáticamente te reconoce).

El irracional tiene una página en FB. El Irracional






Ecuación lineal de congruencia

+1 voto
Hola, quiero si me podeis ayudar con la solución de esta ecuación. Resolver la ecuación $8x\equiv 10\pmod 6.$

 

Es fácil al parecer, pero me hago líos al calcular la solución particular... ¿Y luego de tener la solución particular, el conjunto de soluciones es? La ecuación tiene solución, pues $mcd(8,6)=2\mid 10.$
preguntado por Julio_fmat (1,460 puntos) Nov 27, 2015 en Básicas

1 Respuesta

+2 votos
Bueno, en general, si la congruencia $ax\equiv b\pmod n$ es soluble (eso es, si $\mathrm{mcd}(a,n)\mid b$) entonces todas las soluciones son $x_0,x_0+(n/d),\ldots,x_0+(n/d)(d-1)$ donde $d=\mathrm{mcd}(a,n)$ y $x_0$ es una solución.

En tu caso particular puedes ver que $2$ es una solución a tu congruencia por lo que todas las soluciones son $2$ y $5.$
respondido por Carlos Jalpa (11,200 puntos) Nov 27, 2015
Muchas gracias Carlos. Emm, una pregunta... ¿cómo sabes que $x_0=2$ es la única solución de la ecuación?, porque yo podría decir $x_0=\dfrac{1}{2}$ como solución particular, pues $8\cdot \dfrac{1}{2}=4\equiv 10\pmod 6.$ Y sin caer en ambigüedades, la solución general de la ecuación sería $S=\{1/2,7/2\}.$

Otra pregunta, mi Profesor me sugiere que use el Algoritmo de Euclides para hallar la solución particular, porque se tiene $8x-6y=10$, que es una ecuación diofántica lineal, y si no me equivoco, esa ecuación debe resolverse siempre por el Algoritmo de Euclides.
En este caso quieres resolver la congruencia en enteros. Puedes generalizar el concepto a anillos conmutativos, pero no creo que éste sea el caso. Ahora, lo que hice fue calcular todas las soluciones en el conunto de residuos módulo $6.$ Por último, sí, puedes utilizar el algoritmo de Euclides para hallar una solución particular, más no es necesario. Yo te mencioné unmétodo general para hallar todas las soluciones inequivalentes a partir deuna solución particular, que, en algún caso, será mejor hallarla utilizando el algoritmo euclídeo que simple tanteo.
Licencia Creative Commons
Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 2.5 México.

powered by UCIM

...