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¿Cuál es la terna $(x,y,z)$ de enteros positivos que satisface a la ecuación $x^{3}=3^{y}7^{z} + 8$?

+1 voto
Desarrollar un razonamiento matemático para lograr encontrar la terna $(x,y,z)$ de números enteros positivos para la cual se cumple la siguiente ecuación: $x^{3}=3^{y}7^{z} + 8$.
preguntado por Alexander Isr Flores (1,100 puntos) Dic 3, 2015 en Problemas
editado por Alexander Isr Flores Ene 13, 2016
Alexander: ¿De dónde proviene este problemilla?
Me dijeron que es de Olimpliadas Matemáticas.

1 Respuesta

+4 votos
 
Mejor respuesta

He aquí la solución que ofrecí para este problema en gaussianos:

La ecuación dada es equivalente a

(x-2)(x^2+2x+4) = 3^y \cdot 7^z.

El teorema fundamental de la aritmética nos permite asegurar entonces la existencia de a,b \in \mathbb{Z}^{+} tales que

x^{2}+2x+(4- 3^{a} \cdot 7^{b})=0.

El discriminante de la ecuación cuadrática anterior es

4-4(4-3^{a} \cdot 7^{b})=(4)(3)(3^{a-1} \cdot 7^{b}-1).

Ese número tiene que ser un cuadrado perfecto: ello nos permite colegir que a=1. Ergo, el problema se ha reducido a determinar todos los números $b \in \mathbb{N}$ tales que

7^{b}-1 = 3s^{2}

para algún s \in \mathbb{N}.

Como 7^{b}-1 = (7-1)(7^{b-1}+ \cdots + 1) entonces

2(7^{b-1} + \cdots + 1) = s^{2}.

De esto se sigue que b = 2 \ell para algún \ell \in \mathbb{N}. Se tiene entonces que

(7^{\ell})^{2} - 3s^{2} = 1.

Puesto que la solución fundamental de la ecuación de Pell

X^2-3Y^{2}=1

es 2+\sqrt{3}, entonces 7^{\ell} tiene que ser igual a 7. Así, b=2 y x^{2}+2x+4 = 3 \cdot 7^{2}. De esto se sigue que la única solución en enteros positivos de la ecuación dada es

$(x=11, y=3, z=2)$.

Fin.

respondido por José Hdz (39,570 puntos) Dic 3, 2015
seleccionada por Alexander Isr Flores Ene 17, 2016
Oye José, yo entiendo que la solución de la Ecuación de Pell que se usa es X = 7, Y = 4, pero, ¿qué tiene que ver ese 2 + sqrt(3) con la solución de la Ecuación de Pell? No entiendo eso. Por cierto, ¿es X = 7, Y = 4 la única solución de la Ecuación de Pell que nos sirve en el Problema?
Alexander: Sea $D$ un número natural que no es un cuadrado perfecto. Se sabe que si $(x_{1}, y_{1})$ es la solución fundamental de la ecuación de Pell $x^{2}-Dy^{2} = 1$, entonces la solución general $(x_{n}, y_{n})$ de dicha ecuación se puede extraer de la relación $(x_{n}, y_{n}) = (x_{1}+y_{1}\sqrt{D})^{n}$. Por ejemplo, en la ecuación $x^{2}-3y^{2} =1$, la solución fundamental es $x_{1} = 2, y_{1} = 1$. La solución $(x_{2}, y_{2})$ se obtiene al elevar el binomio $(x_{1}+y_{1}\sqrt{3})$ al cuadrado: puesto que $(x_{1}+y_{1} \sqrt{3})^{2} = (2+\sqrt{3})^{2} = (4+3)+4\sqrt{3}$ entonces $x_{2} = 7$ y $y_{2}=4$. La solución $(x_{3}, y_{3})$ la obtienes al elevar $(x_{1}+y_{1}\sqrt{3})$ al cubo; la suma de los términos en los que $\sqrt{3}$ aparece elevado a un exponente par determinan $x_{3}$ y la suma de los términos en los que $\sqrt{3}$ aparece elevado a un exponente impar determinan $y_{3}$. Esto te debe aclarar la conexión entre la solución $(7,4)$ y $2+\sqrt{3}$. Ahora bien, para demostrar que la ecuación dada sólo tiene una solución en números positivos basta con demostrar que la única solución $(x,y)$ en enteros positivos de la ecuación de Pell $x^{2}-3y^{2} = 1$, en la cual $x$ es potencia de $7$, es $(x_{2}, y_{2})$. Como ya mencionamos previamente, las soluciones de la ecuación de Pell $x^{2}-3y^{2}=1$ se obtienen al calcular las potencias de $2+\sqrt{3}$. Si $N$ es impar entonces al analizar el desarrollo de $(2+\sqrt{3})^{N}$ se obtiene que $x_{N} \equiv 2 \pmod{3}$ y, en consecuencia, $x_{N}$ no puede ser una potencia de $7$ en este caso. Si $N$ es un número par mayor que $2$ entonces $N=2m$ para algún $m \in \mathbb{N}_{>1}$. Puesto que $(2+\sqrt{3})^{N} = (7+4\sqrt{3})^{m}$, para que $x_{N}$ pueda ser una potencia de $7$ en este caso, $m$ tiene que ser impar. Luego, si $m=2k+1$ (donde $k \in \mathbb{N}$) entonces $x_{N} = \sum_{0 \leq j \leq 2k+1, \, j\equiv 0 \pmod{2}} \binom{2k+1}{j}7^{2k+1-j}(4\sqrt{3})^{j}$. De esa última expresión se desprende que $x_{N}$ tampoco puede ser una potencia de $7$ cuando $N$ es un número par mayor que $2$...
¿Entonces para cada solución \[(x_n, y_n)\], \[x_n\] es el primer término del desarrollo de \[(x_1+y_{1}\sqrt {D})^{n}\] y \[y_n\] es el coeficiente con que queda $\sqrt {D}$?
$x_{n}$ no es el primer término, sino la suma de los términos en el desarrollo de $(x_{1}+y_{1}\sqrt{D})^{n}$ en los que $\sqrt{D}$ aparece con exponente par.
Ah, sí, es que quise referirme al término sin $\sqrt{3}$ del resultado ya simplificado del desarrollo del binomio, para \[x_n\]. Por ejemplo, el resultado ya simplificado del desarrollo de       \[(x_1+y_1\sqrt{D})^{3}\] es \[26+15\sqrt {3}\], con lo que resulta que \[x_3=26\] y     \[y_3=15\].
Una duda que tengo: Entiendo que si $a>1$, el discriminante no sería un cuadrado perfecto. También entiendo que si $a=1$, el discriminante es un cuadrado perfecto. Pero no sé cómo justificar lo siguiente: ¿por qué se descarta la posibilidad de que $a=0$? Si $a=0$, se tendría $x^{2}+2x+4=7^{b}$. Así, el discriminante de la ecuación de segundo grado sería $4(7^{b}-3)$. Entonces habría que encontrar todos los $b \in \mathbb{N}$ tales que $7^{b}-3=s^{2}$ para algún $s \in \mathbb{N}$. No entiendo por qué se descarta $a=0$, porque el discriminante puede ser un cuadrado perfecto siendo $a=0$, es decir, $7^{b}-3$ puede ser un cuadrado perfecto. Por ejemplo, para $b=1$ lo es ($7^{1}-3=4=2^{2}$). ¿Serías tan amable, José Hdz, o quien sea, por favor?
$x^{2}+2x+4 = 7^{b}$ implicaría que $x-2 = 3^{y} \cdot 7^{z-b}$. De esto se desprendería que $x\equiv 2 \pmod{3}$; a su vez, esa última congruencia tendría como absurda consecuencia lo siguiente: $7^{b} = x^{2}+2x+4 \equiv 0 \pmod{3}$.
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