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Problema interesante sobre derivadas

+4 votos
¿Es posible encontrar una función $f$ tal que la desigualdad

$f(x)f'(x)f''(x)f'''(x)<0$

se cumpla para todo $x$?
preguntado por David Fernández (15,540 puntos) Dic 7, 2015 en Torito
reetiquetada por José Hdz Ago 23, 2016
... para todo $x$ en el dominio de $f$, ¿cierto?
Donde vi la pregunta, no especificaba. Viendo tu respuesta abajo, me da la impresión de que si pedimos que el dominio sea todo $\mathbb R$ entonces se obtiene algo distinto, pero me imagino que eso ya será una pregunta separada.

1 Respuesta

+5 votos
 
Mejor respuesta
Sí.

Considérese por ejemplo la función $f \colon [\frac{1}{2}, 1] \to \mathbb{R}$ definida por

$f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t}\, dt.$

Si $x \in [\frac{1}{2},1]$ entonces

$f(x) f^{\prime}(x) f^{\prime \prime} (x) f^{\prime \prime \prime} (x) = \left(\int_{0}^{x} e^{-t}\, dt\right)(e^{-x})(-e^{-x})(e^{-x}) = - \left(\int_{0}^{x} e^{-t}\, dt\right)e^{-3x} < 0$.
respondido por José Hdz (39,570 puntos) Dic 7, 2015
seleccionada por David Fernández Dic 8, 2015
Quizá sería más fácil escribir $\int_0^x e^{-t}dt$ como $1-e^{-x}$.
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