• Registro
Foro de preguntas y respuestas de matemáticas, de cualquier nivel. Cuánto más interesantes, divertidas o intrépidas, mejor.
Aviso: Te invitamos a conocer la página de Facebook de la UCIM

Ganas puntos al hacer preguntas, contestarlas y, sobre todo, si tu respuesta es seleccionada como la mejor.
Registrate como usuario para participar en el foro. También puedes utilizar tu identidad de FB Utiliza el botón azul para ingresar (si usas tu identidad de FB y estás logeado en FB, automáticamente te reconoce).

El irracional tiene una página en FB. El Irracional






Demostrar que si $A \subset \mathbb{R}$, entonces $A'$ es cerrado.

0 votos
Demostrar que si $A \subset \mathbb{R}$, entonces $A'$ es cerrado.

Me parece que demostrar si su complemento es abierto es dificil, o no he podido. Pero yo tengo la información de que la cerradura $\lineup{A} = A \cup A'$ es cerrado. ¿Podrá esto ayudarme de alguna manera? Gracias de antemano.

Editado: Pienso que de la igualdad anterior:

1. Si $A$ es abierto, entonces forzosamente $A'$ tiene que ser cerrado, ya que sino, fuera unión finita de abiertos, y la cerradura sería abierto.

2. Si $A$ es cerrado... (Aquí es donde ya no pude).
preguntado por Malexo (4,080 puntos) Dic 8, 2015 en Análisis real
editado por Malexo Dic 8, 2015

2 Respuestas

+1 voto
 
Mejor respuesta
Demuestra que el complemento es abierto.

Si $x \notin A^{\prime}$ entonces existe $\epsilon > 0$ tal que $(x-\epsilon, x+\epsilon)^{\ast} \cap A = \emptyset$. Afirmamos que, de hecho, se cumple la contención

$$(x-\epsilon, x+\epsilon) \subseteq (A^{\prime})^{c}.$$

Sea $y \in (x-\epsilon,x+\epsilon)^{\ast}$.

Si hacemos $r_{y} = \frac{1}{2}\mathrm{min} \{|x-y|,\epsilon-|x-y|\}$ entonces se cumple que $r_{y}>0$ y que $(y-r_{y},y+r_{y}) \subseteq (x-\epsilon,x+\epsilon)^{*}$. De esto se sigue que

$$(y-r_{y},y+r_{y})^{\ast} \cap A = \emptyset$$

y, por consiguiente,

$y \in (A^{\prime})^{c}$

y la demostración termina.

P.D. Por si acaso:  $(x-\epsilon, x+\epsilon)^{\ast} = (x-\epsilon,x+\epsilon) \setminus \{x\}.$
respondido por José Hdz (39,550 puntos) Dic 8, 2015
seleccionada por Malexo Dic 8, 2015
Ya veo, el radio elegido fue para que la vecindad en "y" quedará dentro de la vecindad en "x" pero sin chocar con el centro. ¡Gracias, José! Estoy muy agradecido.
0 votos
Supondré que $A'$ hace referencia a los puntos de acumulación de $A$ (aquellos puntos tales que cualquiera de sus vecindades fundamentales corta a $A$ en algún punto diferente del considerado). Puedes dar una prueba sencilla de esto en espacios métricos; toma un punto en $x$ en los puntos de acumulación $A'$ y una vecindad fundamental $U$ de $x;$ por definición, existe un punto $y$ diferente de $x$ que pertenece a la intersección de $A'$ y $U,$ pero entonces puedes tomar una vecindad fundamental $V$ de $y$ que esté contenida en $U$ y que no tenga a $x$ como elemento (pues todo espacio métrico es separado, o en términos no técnicos, toma radios suficientemente chicos), existe entonces un $z$ en la intersección de $A$ y $V,$ lo cual se sigue sin más que leer la definición de punto de acumulación; se sigue que $z$ pertence a la intersección de $U$ y$A,$ y además no es $x,$ por lo que $x$ también es un punto de acumulación de $A.$ CQFD
respondido por Guillermo Martinez (2,220 puntos) Dic 22, 2015
Licencia Creative Commons
Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 2.5 México.

powered by UCIM

...