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Resolver la ecuación $x^{2}=2^{m}+4$, con $x, m \in \mathbb{Z^{+}}$

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Resolver la ecuación $x^{2}=2^{m}+4$, para enteros positivos $x$ y $m$.
preguntado por Alexander Isr Flores (1,100 puntos) Dic 27, 2015 en Problemas
Ejercicio bonito. Reina el $2$: aparece sólo como exponente (en $x^{2}$), sólo como base (en $2^{x}$), y, por último, como exponente y como base en el término independiente de las incógnitas, $4=2^{2}$. En verdad, me lo propuse yo solo. Sabía que debía tener solución, de hecho, pude notar con facilidad que $x=6, m=5$ es una solución en $\mathbb{Z^{+}}$. Ahora sé además, que esa es la única solución en dicho conjunto numérico.

1 Respuesta

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Mejor respuesta
La expresión es equivalente a $(x+2)(x-2)=2^m.$ Por lo tanto $x+2$ y $x-2$ son ambas potencias de $2,$ digamos $x+2=2^a$ y $x-2=2^b,$ con $a+b=m.$ Combinando las expresiones tenemos que $4=2^a-2^b$ y las únicas potencias de $2$ que difieren en $4$ son $8$ y $4.$ Se sigue que $m=5$ y $x=\pm6$ son las únicas soluciones enteras.
respondido por Carlos Jalpa (11,200 puntos) Dic 27, 2015
seleccionada por Alexander Isr Flores Ene 17, 2016
Carlos Israel, te equivocaste al encontrar los posibles valores de $x$, que, correctamente, resultan ser $\pm 6$. Pero, la solución en $\mathbb{Z^{+}}$ (enteros positivos) de la ecuación, es: $x=6, m=5$.
Me gustaría saber por qué las únicas potencias de $2$ que difieren en $4$, son $8$ y $4$. No estoy seguro de ello.
Oh es cierto, fue error de dedo, gracias. Con respecto al por qué $8$ y $4$ son las únicas potencias de $2$ que difieren en $4,$ simplemente nota que los "espacios" entre potencias de $2$ van creciendo, ésto es, si $n\to\infty$ entonces $2^{n+1}-2^n=2^n\to\infty.$
Es cierto. La diferencia también aumenta cuando los exponentes aumentan. Y, por tanto, disminuye si los exponentes disminuyen. Ahora sí, completamente entendido. Gracias.
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