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Demostremos que, para todo $n \in \mathbb{N}$, $n^{2}+1$ no es cuadrado perfecto.

+1 voto
Demostrar que, para ningún cuadrado perfecto en $\mathbb{N}$, el número natural siguiente también es cuadrado perfecto,esto es, demostrar que, no existe  $n \in \mathbb{N}$ tal que, así como $n^{2}$, $n^{2}+1$ sea también un cuadrado perfecto.
preguntado por Alexander Isr Flores (1,100 puntos) Dic 31, 2015 en Problemas
editado por Alexander Isr Flores Dic 31, 2015
Espero sus respuestas, compañeros.
La idea que tú planteas es la que a todos se nos viene inmediatamente a la mente. Hay otras, pero son más "complicadas".

3 Respuestas

+3 votos
 
Mejor respuesta
Supongamos que lo $n^2+1=m^2$. Entonces $(m-n)(m+n)=m^2-n^2=1$.  Como $m$ y $n$ son naturales, $m+n $ también lo es. El único natural que divide a 1 es 1 mismo, así que $m+n=1$ y haciendo la división queda que $m-n=1$. Resolviendo este sistema de ecuaciones resulta $n=0$ y $m=1$, por lo que si consideras al 0 como natural los únicos 2 cuadrados consecutivos son 0 y 1.
respondido por EliasMochan (7,870 puntos) Ene 4, 2016
seleccionada por Alexander Isr Flores Ene 24, 2016
Así es, ElíasMochan. Pero en mi segunda respuesta ya yo  llegué al mismo resultado al que tú llegas en tu respuesta: que $n^{2}+1$ es cuadrado perfecto si y sólo si $n=0$, quedando $0^{2}+1=1=1^{2}$, es decir, lo mismo que dices tú: "0 y 1 son los únicos cuadrados perfectos consecutivos".
+1 voto
Bueno, voy sólo a dar mi opinión:

El cuadrado perfecto mayor que $n^{2}$ más cercano es $(n+1)^{2}$. Ya que, $(n+1)^{2}=(n^{2}+1)+2n$, se tiene que, para todo $n \in \mathbb{N}, (n^{2}+1)<(n+1)^{2}$. Como no hay cuadrados perfectos menores que $(n+1)^{2}$ después de $n^{2}$ por ser $(n+1)^{2}$ el más pequeño de todos los cuadrados perfectos mayores que $n^{2}$, $n^{2}+1$ no es un cuadrado perfecto, por ser menor que el cuadrado perfecto más cercano después de $n^{2}$. Recalcando que $n \in \mathbb{N}$, queda demostrado lo que se quería demostrar.
respondido por Alexander Isr Flores (1,100 puntos) Dic 31, 2015
editado por Alexander Isr Flores Dic 31, 2015
Si consideras al 0 como natural la desigualdad que planteas no se cumple pues $0^2+1=(0+1)^2$.
No creas que no sabía eso, pues lo sabía perfectamente. Yo propuse esa desigualdad conviniendo que $n$ es un entero mayor que $0$, es decir, conviniendo que $0$ no es un número natural.

Por eso en el enunciado de la pregunta digo: "demostremos que $no\ hay$ número natural $n$ tal que $n^{2}+1$ sea un cuadrado perfecto". Obviamente el $0$ no lo tomo como un número natural. Si no, entonces estaría mal el enunciado de la pregunta, porque si convengo que $0$ es un número natural, lo que digo en la pregunta sería falso, pues se tendría permitido el caso para $n=0: 0^{2}+1=1^{2}$, para el cual lo que digo en la pregunta no se cumpliría. Pero realmente no es así, porque $0 \not \in \mathbb{N}$.
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Pues esta es otra manera de demostrarlo, aún más sencilla (y más elegante):

Para todo $n \in \mathbb{N}$, el número $n^{2}+(2n+1)$ es claramente un cuadrado perfecto. Para que quede $n^{2}+1$, puede verse que $2n+1$ debe ser igual a $1$. Pero esto ocurre si y sólo si $n=0$. Por tanto, en $\mathbb{Z}$, $n^{2}+1$ es cuadrado perfecto sólo para $n=0$. En efecto: $0^{2}+1=1^{2}$. Pero, si convenimos que $0 \not \in \mathbb{N}$, entonces no hay $n \in \mathbb{N}$ para que $n^{2}+1$ sea cuadrado perfecto.
respondido por Alexander Isr Flores (1,100 puntos) Ene 2, 2016 1 marca
editado por Alexander Isr Flores Ene 3, 2016
Ésto muestra que $n^2+1=n^2+2n+1$ si y sólo si $n=0,$ más no muestra que $n^2+1\neq m^2$ para cualquier $m\in\mathbb Z.$ De hecho, aquí estás utilizando el hecho que $(n+1)^2=\inf\{m^2:m\in\mathbb Z\;\wedge\;m^2>n^2\},$ que es algo que muestras en tu otra respuesta. Al final esta respuesta es sólo una "extensión" de la otra.
Corrigiendo (con este comentario es que respondo al comentario de Carlos Israel a mi segunda respuesta, comentario que está justo antes de éste):

$n^{2}+k$ es el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$ si y sólo si $k=2n+1$, es decir, el número impar $2n+1$, porque el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$ siempre será $n^{2}+2n+1$. No puede ser $n^{2}+2n$, es decir, no puede ser $n^{2}+k$ con $k=2n$ (el número par $2n$), porque este número siempre es menor que el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$, que es $n^{2}+2n+1$.

$n^{2}+1$ es cuadrado perfecto si y sólo si $n=0$. Para $n>0$ no es cuadrado perfecto, porque: para $n=1$ el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$ es $n^{2}+3$, para $n=2$, el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$ es $n^{2}+5$, para $n=3$ el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$ es $n^{2}+7$, es decir, para $n>0$ el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$ es $n^{2}+k$, con $k$ número impar mayor que $1$, por lo que si $n>0$, $n^{2}+1$ no es cuadrado perfecto, por ser menor que el cuadrado perfecto más cercano a $n^{2}$.

Por tanto, yo demuestro que $n^{2}+1 \not=m^{2}$ si $n \not=0$.
Tú afirmación es falsa. Toma $n=1$ y $k=15\neq 2n+1=3$. En este caso $n^2+k=16=4^2$ y $k $ no es $2n+1$. $k=8$ también funciona y es par.

Es decir, escribiste dos falacias: "$n^2+k $ es cuadrado perfecto si y sólo si $k=2n+1$" y (implicitamente) "$k $ es impar si y sólo si  $k=2n+1$".
Es cierto, tienes razón, ElíasMochan. Me equivoqué en decir que $n^{2}+k$ es cuadrado perfecto si y sólo si $k=2n+1$. Lo correcto es: "el menor de los cuadrados perfectos mayores que $n^{2}$ es $n^{2}+k$ con $k=2n+1$". Lo que yo quiero expresar es que el menor de los cuadrados perfectos mayores que $n^{2}$ es siempre $n^{2}+(2n+1)$, ahí sí, $k=2n+1$.
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