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Un baúl de problemas olvidado - Problema propuesto 19 (PROBLEMA CON PREMIO)

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Problema. Decimos que un número natural es totalmente primo si se cumple que su primer dígito es un número primo, sus primeros dos dígitos conforman un número primo, sus primeros tres dígitos conforman otro número primo, y así sucesivamente. Por ejemplo, 233 es totalmente primo, pues, tanto 2, como 23, como 233 son números primos. Determine si la serie de los recíprocos de los números naturales que son totalmente primos es convergente o divergente.

* Las soluciones que se reciban serán consideradas para ser incluidas en la próxima entrega del artículo Un baúl de problemas olvidado. Pueden leer la más reciente entrega de este trabajo en el siguiente enlace:

http://universo.math.org.mx/2015-3/Baul-IV/baul-IV.html

preguntado por José Hdz (39,230 puntos) Ene 6, 2016 en Problemas
reetiquetada por José Hdz Mar 21

1 Respuesta

+4 votos
 
Mejor respuesta

Hola:

Llamemos $a_N$ a la cantidad de números totalmente primos de $N$ dígitos. Si Q es un número de $n + 1$ dígitos que es totalmente primo, tenemos que sus primeros $n$ dígitos también son totalmente primos y que la última cifra debe ser $1, 3, 7, 9$, pues por los criterios de divisibilidad del $2$ y del $5$, no puede ser que $Q$ sea primo y acabe en las otras cifras. De allí que la cantidad de totalmente primos de $N + 1$ dígitos sea a lo más $4$ veces la cantidad de totalmente primos de $N$ cifras. Hemos probado que

$a_{N + 1} \le 4a_N$,

de donde al resolver la recurrencia obtenemos $a_{N+1}\le 4^na_1$, y tenemos que $a_1 = 4$, pues las opciones son $2, 3, 5, 7$. Así que $a_{N + 1}\le 4^{N + 1}$.

Ahora, sea $S$ la suma en cuestión. Como es una suma de términos positivos podemos reagrupar sin cambiar el valor de la suma, por ende, reagrupamos de acuerdo a la cantidad de cifras. Digamos que $B_N$ es el valor de la suma de los recíprocos de los totalmente primos de $N$ cifras y digamos, por concretez, que esos números son $b_1,..., b_m$ (obviamente, por definición, $m = a_N$). Por definición tenemos que $10^{N-1}\le b_m$, de donde se sigue que

$\displaystyle\frac{1}{b_m}\le \displaystyle\frac{1}{10^{N-1}}$

de donde se sigue que 

$B_N = 1/b_1 + ... + 1/b_m \le a_N/10^{N -1} \le \displaystyle\frac{4^N}{10^{N - 1}}$,

por lo tanto, tenemos que

$S \le \displaystyle\sum_{N = 1}^{\infty}\displaystyle\frac{4^N}{10^{N - 1}} \le 4\displaystyle\sum_{N = 1}^{\infty}\displaystyle\frac{4^{N-1}}{10^{N - 1}} $,

lo cual converge porque es una suma geométrica (por cuatro) cuyo término es $4/10 < 1$. Como estamos tratando con números positivos, el criterio de comparación de series implica que $S < \infty$, i.e. la suma en cuestión converge. 

respondido por Malors Espinosa (5,800 puntos) Ene 6, 2016
seleccionada por José Hdz Feb 11, 2016
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