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¿Donde partir la Rosca de Reyes para que no me salga muñeco?

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Ayer me toco partir la rosca de reyes. Fui el segundo en cortar una rebanada así que me pregunté ¿dónde me conviene cortar mi rebanada para evitar que me salga un objeto extraño en mi porción?

Planteémos una posible pregunta: Dado una Rosca de este tipo (pensemos que es un círculo), $n$ personas (pensemos que $n=12$ para ejemplificar mi caso) la partirán en $n$ partes tal que cada una tomará una rebanada de igual proporción (el cŕculo es partido en $n$ arcos iguales).

La rosca contiene $x$ objetos "pequeños", podemos pensar que son puntos en el círculo ($x=4$ en mi caso) contenidos en la rosca pero no sabemos dónde están.

¿Cuál es la probabilidad de que el primero de los "n" individuos corte su rebanada le toque alguno de los $x$ objetos? Donde "tocar" significa que lo contenga en su rebanada o bien tenga un punto de contacto a las rebanadas --que se vea el objeto al hacer el corte--.

¿Cuál es la probabilidad del segundo? y así sucesivamente...

Finalmente, si mi turno es el $k$-ésimo, ¿dónde me conviene cortar?

Imagino que los usuarios del Irracional han cortado alguna vez una Rosca de Reyes así que la idea es modelar tal proceso lo mejor posible pero que sea posible dar una estimación real al problema. En mi experiencia las terceras o cuartas personas con alta probabilidad les toca muñeco. Por un lado, cortar una rebanada subsecuente implica un sólo corte así que usualmente corto una rebanada adyacente excepto si soy la tercera o cuarta persona en cortar, en este caso corto una centrada en el pedazo más grande que resta. Claramente si soy la primer persona o la última en tomar una rebanada no hay mucho que pensar.
preguntado por Chris Rubio (5,840 puntos) Ene 7, 2016 en Problemas
editado por Chris Rubio Ene 7, 2016

1 Respuesta

+1 voto
Se supone que los objetos están distribuidos uniformemente así que la respuesta intuitiva es "da igual", aunque en muchos casos son humanos los que esconden el muñeco y eso hace que no sea tan uniforme. Esto es sólo tomando los objetos como puntos.

Ahora, en un acercamiento más realista, el muñeco típica mente está acomodado longitudinalmente y tiene cierto largo. La probabilidad de que te salga el muñeco es igual a la probabilidad de que el centro del muñeco esté en tu rebanada o a menos de medio cuerpo de los extremos donde cortas. Por eso la mejor estrategia para que no te salga muñeco es aprovechar los cortes ya hechos. Además, si usas un corte ya hecho sabes que el centro del muñeco no está en el primer medio cuerpo de ese lado.

Entonces, el primero en cortar tiene probabilidad de sacar el muñeco proporcional al ancho de sun rebanada más un cuerpo de muñeco (medio de cada lado). Los que aprovechan un corte ya hecho tienen probabilidad proporcional al ancho de su rebanada (más medio cuerpo del lado que cortan menos medio cuerpo del lado que no cortan). El que sólo toma el último pedazo tiene probabilidad proporcional al ancho de la rebanada menos un cuerpo de muñeco (medio de cada lado).

Estoy simplificando considerando un sólo muñeco, pero creo que más muñecos no lo complica mucho.
respondido por EliasMochan (7,870 puntos) Ene 8, 2016
No necesariamente están distribuidos uniformemente los objetos pero usualmente están separados por más de una rebanada.

Me parece que la probabilidad de salir un muñeco o no del k-ésimo cortador de rebanadas depende de los anteriores. Por ejemplo, si el primero que corta una rebanada le sale un muñeco casi que seguramente al segundo cortador no le tocará si saca una rebanada vecina. Sin embargo, si los primeros cinco tomaron rebanadas consecutivas y a ninguno le salió muñeco casi que al siguiente cortador si le tocará.
Es cierto que la distribución no es uniforme, pero es difícil saber cómo es en realidad. Normalmente es un humano que los pone "como sea". Para tener una idea de la distribución real habría que examinar muchas roscas. Sabiendo la distribución real podrías hacer una estrategia mejor viendo dónde han salido los muñecos anteriores, pero mi hipótesis es que sería la misma: aprovechar los cortes previos. La diferencia quizás es que conviene cortar la rebanada inmediata después de dónde salió muñeco, pero este año me toco ver dos muñecos en rebanadas consecutivas, así que si bien no es tan probable, tampoco es ley que nunca ocurra.
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