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Regularidad del problema de Dirichlet

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Hola:

Estoy estudiando ecuaciones diferenciales parciales y me interesa entender el siguiente fenómeno particular. El problema de Dirichlet Biharmónico consiste en encontrar soluciones a la ecuación 

$-\Delta^2 u = f$

en el dominio acotado $\Omega$, de frontera suave y con $u = 0$ en $\partial\Omega $ y $\nabla u = 0 $ en $\partial\Omega$. Por cierto, por definición $\Delta^2 u = \displaystyle\sum_{i = 1}^n\displaystyle\sum_{j = 1}^n \partial_i\partial_i\partial_j\partial_j u $. 

En el sentido de distribuciones esto es equivalente a hallar una función $u\in W^{2, 2}(\Omega)$ con $\nabla u = 0$ y $u = 0$ en $\partial\Omega$, en el sentido de traza, tal que

$\displaystyle\int_{\Omega} \nabla u\cdot \nabla w = \displaystyle\int_{\Omega} fw.$

Ya he podido demostrar que existe una única solución. Sin embargo, también cumple ser $C^{\infty}(\Omega)$ y no tengo idea por qué. Me imagino se tiene que hacer algún proceso tipo "bootstrap" para probar que siempre pertenece a espacios de Sobolev más altos y por ende, mediante la desigualdad de Sobolev, incluirlo en espacios de Holder. Sin embargo, no me sale y no hallo referencias a este problema, encuentro muchas al problema no lineal y cosas más intensas, pero se ponen a hacer unas cosas de miedo muy particulares a las ecuaciones que tienen, pero según yo esto no debería ser tan rebuscado.

¿Alguien sabe si esto se puede reducir a los problemas de operadores elítpicos de orden 2 o algo así? ¿O alguien tiene alguna referencia donde ver este problema en particular? 

Gracias.

preguntado por Malors Espinosa (5,800 puntos) Feb 1, 2016 en Avanzadas
editado por Malors Espinosa Feb 1, 2016
La regularidad de $u$  esta ligada a la de $f$ asi que deberias comentar algo a cerca de eso. Por otro lado me parece que la formulacion debil deberia ser
$$\int_{\Omega}\Delta u\Delta w\ dx=\int_{\Omega}fw\ dx.$$

Finalmente me parece que la regularidad de $u$ se sigue de la teoria de ecuaciones elipticas haciendo el cambio de variables $v=\Delta u$.
Hola:

Tienes razón, la versión débil es la que pones. Puse el triángulo equivocado je, gracias por la corrección.

En efecto, la regularidad de $u$ se relaciona con la de $f$. Para el caso que ando viendo, $f$ es $C^{\infty}$.
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