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¿Cuántos subgrupos puede tener un magma?

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Un magma es un conjunto $M$ con una operación binaria $\cdot:M\times M\to M$. Un subgrupo es un subconjunto $N\subset M $ tal que si se restringe a éste la operación del magma resulta un grupo.

Sea $M$ un magma con $n$ elementos. ¿Cuál es el máximo número de subgrupos que puede tener $M$?
preguntado por EliasMochan (7,870 puntos) Feb 19, 2016 en Preguntas
Al final de la segunda oración debe decir "resulta un magma", ¿qué no?
Eso sería un submagma. Lo que yo definía es un subgrupo. El magma dado por la operación  $ab:=b $ tiene a todo subconjunto como submagma, por eso es que la pregunta de "¿cuántos submagma puede tener un magma?" No se me hizo tan interesante. Ese mismo ejemplo tiene tantos subgrupos como elementos. Cada singulete es un subgrupo y ningún otro subconjunto lo es.
Si bien no puedo proporcionar una respuesta completa, nota que cuando tienes $G\subseteq M$ un subgrupo, la identidad $e_G$ de $G$ satisface que
$e_G\cdot e_G=e_G$. En otras palabras, todo subgrupo determina un elemento idempotente --en particular, para magmas (que yo conocía como "grupoides") que no tienen idempotentes, la respuesta es 0.
Otro ejemplo (que no tiene mucho que ver con la observación anterior) es el magma $(\mathbb R^3,\times)$: éste tiene exactamente un subgrupo (aquél que consta únicamente de $(0,0,0)$).
Prefiero usar "magma" sobre "grupoide" porque hay quienes le dicen grupoide de a una categoría con puros isomorfismos, que es equivalente a un conjunto con una operación binaria parcial que localmente es un grupo (el ejemplo más típico es el grupoide fundamental de un espacio topológico).

Lo que me interesa es encontrar el máximo número de subgrupos que puede tener un magma de orden $n $. Cada elemento idempotente define un subgrupo  (trivial), por lo que hay al menos tantos subgrupos como elementos idempotentes. Si consideras el magma con la operación  $ab=b$, cada elemento será idempotente por lo que habrá $n $ subgrupos. Pero quizás hay forma de que hay más (un mismo elemento ídempotente puede ser identidad de varios subgrupos, incluso si la unión de todos ellos no es subgrupo).
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