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Problema de funciones continuas

+1 voto
Demostrar que si una función real $f$ es continua en $[a, b]$ y si $B \subset \mathbb{R}$ es cerrado, entonces la imagen inversa de B también lo es.

Si B no interseca al intervalo pues la imagen inversa es el vacío y está claro que es cerrado, pero no sé que decir cuando $B \cap [a, b]$ no es vacío.

Ojala pudieran colaborarme por favor.
preguntado por Malexo (4,080 puntos) Mar 9, 2016 en Análisis real

1 Respuesta

+2 votos
 
Mejor respuesta
Creo que $B\cap[a,b]$ no es relevante en este caso, pues $[a,b]$ es el dominio de la función y tú estás viendo a $B$ como parte del codominio de la misma. Por ejemplo, si $f$ viene dada por $x\longmapsto x+2(b-a)$, entonces $B=[2b-a,3b-a]$ satisface que $f^{-1}[B]=[a,b]\neq\varnothing$, aún cuando $B\cap[a,b]=\varnothing$.

Ahora para tu problema: lo más fácil es probar que el complemento de $f^{-1}[B]$ es abierto: sea $x$ un elemento de tal complemento. Entonces, hay de dos sopas:

1) Si $x\notin[a,b]$ entonces hay un $\varepsilon$ tal que $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap[a,b]=\varnothing$, y por lo tanto tendremos que $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$ está totalmente contenido en el complemento de $f^{-1}[B]$ (pues todo $z\notin[a,b]$ tiene la propiedad de que $f$ no está definida en $z$, por lo cual no tendría sentido afirmar que $f(z)\in B$).

2) Si $x\in[a,b]$ entonces sabemos que $f(x)\notin B$. Como $B$ es cerrado, hay un $\delta$ tal que $(f(x)-\delta,f(x)+\delta)\cap B=\varnothing$. Ahora usamos que $f$ es continua para encontrar un $\varepsilon$ tal que, si $z\in[a,b]$ entonces $|z-x|<\varepsilon\Rightarrow|f(z)-f(x)|<\delta$. Entonces afirmo que $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$ no intersecta a $f^{-1}[B]$, ya que si $z\in(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$ entonces, o bien $z\notin[a,b]$, en cuyo caso $f(z)$ no está definido y por lo tanto $z\notin f^{-1}[B]$, o bien $z\in[a,b]$, en cuyo caso $f(z)\in(f(x)-\delta,f(x)+\delta)$, y este último conjunto no intersecta a $B$, por lo tanto $f(z)\notin B$ y por consiguiente $z\notin f^{-1}[B]$.

En cualquiera de los dos casos, dado $x\notin f^{-1}[B]$ es posible encontrar un intervalo alrededor de $x$ que no intersecta a $f^{-1}[B]$, lo cual prueba que este conjunto es cerrado.
respondido por David Fernández (15,540 puntos) Mar 9, 2016
seleccionada por Malexo Mar 15, 2016
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