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Diferenciabilidad del máximo de una función

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Hola:

Sea $\Omega$ una variedad diferencial cerrada y conexa y consideremos $F: \Omega\times [0, T]\rightarrow \mathbb{R}$ suave. A partir de $F$ construyamos una nueva función $F_{\max}:[0, T]\rightarrow\mathbb{R}$ como

$F_{\max}(t) = \displaystyle\max_{\omega\in\Omega} F(\omega, t)$.

Tengo dos preguntas acerca de esta nueva función que no he logrado resolver con precisión:

  • ¿Es cierto que $F_{\max}$ es diferenciable?
  • En caso de que sea diferenciable, ¿es verdad que $\displaystyle\frac{\partial F_{\max}}{\partial t}(t_0) = F_t(x_0, t_0)$ donde $(x_0, t_0)$ es donde se alcanza el máximo en $\Omega\times\{t_0\}$?

 

 

preguntado por Malors Espinosa (5,800 puntos) Mar 14, 2016 en Avanzadas

1 Respuesta

+1 voto
$F_\max$ no necesariamente es diferenciable. Por ejemplo, si $\Omega$ es el círculo unitario, $\Omega = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = 1\}$, y $F : \Omega \times [-1,1] \to \mathbb{R}$ está dada por $F((x,y), t) = tx$, entonces $F_\max(t) = |t|$.
respondido por Omar Antolín (33,060 puntos) Mar 16, 2016
editado por Omar Antolín Mar 17, 2016
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