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Problema de Trayectorias Ortogonales

+1 voto
Ayuda con el siguiente problema, por favor:

Encontrar las trayectorias ortogonales de las familias de curvas dadas por $\displaystyle y=\frac{x}{1+c_{1}x}$.
preguntado por Alex F (910 puntos) Mar 20, 2016 en Ecs. Diferenciales
editado por Alex F Mar 20, 2016

1 Respuesta

+2 votos
 
Mejor respuesta

Hola:

Debes recordad que la pendiente en cada punto a una curva está dada por la derivada en ese punto. Si derivas la ecuación que pones obtienes que:

$y' = \dfrac{1}{(1 + cx)^2}$.

Ahora recuerda que dos rectas son perpendiculares si y sólo si sus pendientes tienen como producto -1. Con lo anterior sabes cuál es la pendiente de las curvas que estás buscando, deben satisfacer:

$y' = - (1 + cx)^2$.

Esta es una nueva ecuación diferencial fácil de resolver y cuyas soluciones serán perpendiculares a las curvas que tú diste originalmente. 

(Puedes hacer un dibujo con un graficador para ver como se ven las curvas que das y las soluciones que obtienes, se ven bonitas :P )

La respuesta a la ecuación anterior por si deseas comparar con tus propias cuentas es: 

$y = -\dfrac{(1 + cx)^3}{3c} + K$

donde $K$ es alguna constante. Si tienes más dudas al respecto no dudes en preguntar (si la regué en algo también reclama je).

 

respondido por Malors Espinosa (5,800 puntos) Mar 20, 2016
seleccionada por Alex F Mar 21, 2016
Oh, sí, entiendo perfectamente. Es que no sabía cómo empezar, estaba dudoso, pero veo que es muy fácil. Así entonces las trayectorias ortogonales a la familia de curvas dada vienen dadas por $\displaystyle y=-\frac{(1+cx)^{3}}{3c}+K,\ \ K \in \mathbb{R}$ . Gracias por su ayuda.
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