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Solución de un límite algebraico y exponencial

+1 voto
Hola. ¿Cómo puedo hacer para calcular el siguiente límite? Tengo que hacerlo sin usar la regla de L'Hopital. Ya lo intenté, pero no lo pude conseguir.

 

$\displaystyle \lim_{x  \to  \infty}{\frac{3e^{x}-1}{x^{2}-1}}$ .

 

Lo más que pude hacer fue reducirlo a  $\displaystyle 3\lim_{x  \to  \infty}{\frac{e^{x}}{x^{2}}}$ . Ya no sé qué más puedo hacer. Les pido su ayuda.
preguntado por Alex F (910 puntos) Mar 28, 2016 en Cálculo diferencial
editado por Alex F Mar 29, 2016
Hola:

Observa que el límite en infinito del numerador y el denominador es infinito, así que puedes intentar usar la regla de L'Hopital.
¡Oh, cómo olvidé especificar que debo calcularlo sin usar la famosa regla de L'Hopital! Lo siento. Ya lo he corregido.
Sin embargo, por curiosidad, ya había aplicado la regla de L'Hopital y obtuve que el valor del límite es infinito, $\infty$.

1 Respuesta

+3 votos
¿Conoces la desigualdad $e^x \ge x+1$, válida para toda $x$? Puedes usarla para decir que $e^x = (e^{x/3})^3 \ge (1+x/3)^3$, de modo que $\frac{e^x}{x^2} \ge \frac{(1+x/3)^3}{x^2} \ge x/27 \to \infty$.

Fíjate que aquí solo necesitamos la desigualdad para $x$ grande y probarla para $x \ge 0$ es fácil: sabemos que $e^t \ge 1$ para $t \ge 0$; integrando de $t=0$ a $t=x$, obtenemos $e^x - 1 \ge x$.
respondido por Omar Antolín (32,660 puntos) Mar 30, 2016
Interesante. Puedo entender lo siguiente: ya que $\lim_{x  \to  \infty}{\frac{x}{27}}=\infty$ y $\frac{e^{x}}{x^{2}} \geq \frac{x}{27}$, se tiene que $\lim_{x  \to  \infty}{\frac{e^{x}}{x^{2}}}=\infty$ porque siempre el valor de $\frac{e^{x}}{x^{2}}$ es mayor o igual que el de $\frac{x}{27}$ y como $\frac{x}{27}$ tiende al infinito cuando $x$ tiende al infinito, entonces $\frac{e^{x}}{x^{2}}$ tiende al infinito cuando $x$ tiende al infinito. Así es, ¿cierto?
Sí, exactamente.
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