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Circunferencias (Algebra Superior).

+2 votos
Definición B(P, r) = { x | d(P,x)<=r } donde d(P, x) es la distancia de P a x.

Probar que

B(P,r) es subconjunto de B(P, r') si y sólo si r<=r' .

Primero probaré que: B(P, r ) es subconjunto de B(P, r') implica que r<=r'

Demostración

 B(P, r) es subconjunto de B(P, r')

x pertenece a B(P,r) y x pertenece a B(P, r')

Así B(P, r')={ x | d(P,x)<=r')

 Como d(P,x) pertenece a B(P, r') y d(P,x) pertenece a B(P, r)

Tenemos que   d(P,x)<=r    y    d(P,x)<=r'.

Luego d(P,x) -d(P,x)<=r' - r.                                                   Q.E.D.
 

Les agradecería que me ayudarán.

P.D. Aunque me parece que tendría que abordarlo con distancias [ con d(P,x) y luego asociarlo con el radio r' de alguna manera] pero tengo mis dudas sobre si es correcto ésta manera en que lo realice. Y disculpen por no poner los símbolos que corresponden pero no sé LaTeX, estoy trabajando en eso.
preguntado por James Sidis (90 puntos) Abr 1, 2016 en Básicas
editado por James Sidis Abr 2, 2016

2 Respuestas

0 votos
Definición $B(P, r) =\{ x | d(P,x)\leq r \}$ donde $d(P, x)$ es la distancia de $P$ a $x$.

Demostrar  que

$B(P,r)$ es subconjunto de $B(P, r')$ si y sólo si $r\leq r'$.

Demostración:

$\Rightarrow )$

Supongamos que $B(P,r)$ es subconjunto de $B(P, r')$.

Sea $y\in B(P,r´)\backslash B(P,r)$ y $x\in B(P,r)$ ,  por la desigualdad del triángulo se tiene que
$$d(P,x)\leq d(P,y)+d(x,y) \,\, \forall x,y$$
Por lo tanto $r \leq r'$.

$\Leftarrow )$

Supongamos que $r\leq r'$, si $x\in B(P,r)$ se tiene que $d(P,x)\leq r\leq r'$ lo que implica que

$x\in B(P,r')$.
respondido por Ramiro Milu GaBa (2,660 puntos) Abr 13, 2016
editado por Ramiro Milu GaBa Abr 13, 2016
$B(P,r)\setminus B(P,r')$ podría ser vacío, por lo que tu $y$ de la ida podría no existir.
Asi es, gracias.
Ramiro, gracias. Y disculpa no haberlo puesto con LaTeX.
0 votos
Tu demostración está mal redactada al menos, porque escribiste que "$d(P,x)$ pertenece a $B(P, r')$ y $d(P,x)$ pertenece a $B(P, r)$", que está mal porque las distancias son números y los elementos de las bolas son puntos del espacio en el que estás trabajando.

El resultado es falso en general, es decir, existen espacios métricos en los que $B(P,r)=B(P,r')$ (en particular $B(P,r)\subset B(P,r')$ y $r>r'$. Por ejemplo, en los enteros $B(0,0.9)=B(0,0.5)=\{0\}$.

Pero el resultado es cierto en $\mathbb{R}^n$. Para ver esto tienes que notar que $\mathbb{R}^n$ tiene la peculiar propiedad que dados un punto $P$ y un real positivo $r$ siempre existe un punto a distancia $r$ de $P$. Para construir ese punto puedes tomar $P+(r,0,\ldots,0)$.

Supongamos que $B(P,r)\subset B(P,r')$. Por la observación anterior existe $Q$ tal que $d(P,Q)=r$, en particular $d(P,Q)\leq r$ por lo que $Q\in B(P,r)$. Por contención $Q\in B(P,r')$. Como $Q\in B(P,r')$ se tiene que $d(P,Q)\leq r'$, pero por construcción $d(P,Q)=r$. Entonces $r\leq r'$.

Para la otra implicación lo haces como dijo Ramiro y esto funciona en general (para cualquier espacio métrico).
respondido por EliasMochan (7,870 puntos) Abr 13, 2016
editado por EliasMochan Abr 15, 2016
Te agradezco,  y sobre todo que me indicarás el error que cometí sobre las distancias.
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