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¿Cuál topología es más fina?

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¿Es la topología determinada por la distancia usual $d=\sqrt{(x_1-y_1)^2+...+(x_n-y_n)^2}$, más fina que la determinada por la distancia $p=max \{ |x_1 - y_1|, |x_2 - y_2|, ..., |x_n - y_n| \}$ para 2 puntos $x$ e $y$ en $\mathbb{R}^n$?
preguntado por Malexo (4,080 puntos) Abr 14, 2016 en Topología

1 Respuesta

+3 votos
 
Mejor respuesta
Hola Mario:

Las dos topologías son la misma. Una manera de ver esto es observar que para cada básico (i.e. bola de la distancia) de una topología dentro hay otra bola de la otra topología.

De la distancia usual ya conoces las bolas abiertas, son las esferas rellenas usuales. En cambio, de la otra topología son cubos. Como siempre puedes inscribir un cubo en una esfera, y una esfera en un cubo, obtienes que ambas topologías son iguales. La razón de esto último es que cualquier unión de básicos de un tipo, será unión del otro tipo, y por eso son los mismos abiertos.

Una manera distinta de ver esto, en esta situación particular, es usando un teorema que se llama Teorema de Minkowski. Básicamente te dice que en $\mathbb{R}^n$ todas las normas son equivalentes, i.e., generan topologías iguales. Como las dos distancias que tú das son normas, la euclideana y la norma infinito. el teorema puede utilizarse.
respondido por Malors Espinosa (5,800 puntos) Abr 14, 2016
seleccionada por Malexo Abr 15, 2016
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