• Registro
Foro de preguntas y respuestas de matemáticas, de cualquier nivel. Cuánto más interesantes, divertidas o intrépidas, mejor.
Aviso: Te invitamos a conocer la página de Facebook de la UCIM

Ganas puntos al hacer preguntas, contestarlas y, sobre todo, si tu respuesta es seleccionada como la mejor.
Registrate como usuario para participar en el foro. También puedes utilizar tu identidad de FB Utiliza el botón azul para ingresar (si usas tu identidad de FB y estás logeado en FB, automáticamente te reconoce).

El irracional tiene una página en FB. El Irracional






¿Cómo resolver el siguiente límite?

+2 votos
El límite es $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1^r+2^r+...+(n-1)^r+n^r}{n^{r+1}} = \frac{1}{r+1}$. Lo que pasa es que me lo he topado en el tema de Integración, entonces puedo utilizar cualquier propiedad o L'Hopital. Espero puedan ayudarme por favor.

Editado: $r$ es natural.
preguntado por Malexo (4,080 puntos) May 4, 2016 en Análisis real
editado por Malexo May 4, 2016

1 Respuesta

+2 votos
 
Mejor respuesta
En el caso en que $r>0$, puedes pensar de la sig. manera:

La expresión $\frac{1^{r}+2^{r}+\ldots+n^{r}}{n^{r+1}}$ no es otra cosa sino el área de la región (poligonal) que se obtiene al embaldosar la región

$$\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} \colon 0\leq x \leq 1, 0 \leq y \leq f(x)\}$$

mediante los $n$ rectángulos siguientes

$$R_{k} = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} \colon \frac{k-1}{n} \leq x \leq \frac{k}{n}, 0 \leq y \leq f\left(\frac{k}{n}\right)\right\}, \quad k= 1, 2, \ldots, n.$$

Ergo, cuando $n$ tiende a infinito la expresión dada tiende a

$$\int_{0}^{1} x^{r} \, dx = \frac{1}{r+1}.$$
respondido por José Hdz (39,570 puntos) May 4, 2016
seleccionada por Malexo May 4, 2016
Hola José. Lo que pasa es que en el libro que estoy leyendo, en los primeros capítulos intentan demostrar justamente la integral de $x^r$ en el intervalo [0, b], donde $b \in \mathbb{R}$. Entonces el libro construye una integral inferior y superior y demuestran que es integrable. Luego toman el límite que pongo en la pregunta, aunque me falto especificar que $r$ es natural.
Si $r$ es un núm. natural, entonces puedes proceder así: se puede demostrar (haciendo inducción en $r$) que $1^{r}+\cdots+n^{r} = \frac{n^{r+1}}{r+1}+p_{r}(n)$ donde $p_{r}(n)$ representa un polinomio en $n$ de grado a lo más $r$. En consecuencia: $\lim_{n \to \infty} \frac{1^{r}+\cdots+n^{r}}{n^{r+1}} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{r+1}+\frac{p_{r}(n)}{n^{r+1}}\right) = \frac{1}{r+1}$ y listo.
¡Muchas gracias José! Y una disculpa por no haber aclarado que $r$ es natural.
Licencia Creative Commons
Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 2.5 México.

powered by UCIM

...