• Registro
Foro de preguntas y respuestas de matemáticas, de cualquier nivel. Cuánto más interesantes, divertidas o intrépidas, mejor.
Aviso: Te invitamos a conocer la página de Facebook de la UCIM

Ganas puntos al hacer preguntas, contestarlas y, sobre todo, si tu respuesta es seleccionada como la mejor.
Registrate como usuario para participar en el foro. También puedes utilizar tu identidad de FB Utiliza el botón azul para ingresar (si usas tu identidad de FB y estás logeado en FB, automáticamente te reconoce).

El irracional tiene una página en FB. El Irracional






Resolver $3\left(2^{a}\right)+1=b^{2}$ para enteros no negativos.

+1 voto
Encontrar todas las soluciones de la ecuación $3\left(2^{a}\right)+1=b^{2}$ en enteros no negativos.

Problema elemental, ahí lo tienen.
preguntado por Alexander Isr Flores (1,100 puntos) May 7, 2016 en Problemas
editado por Alexander Isr Flores May 7, 2016

1 Respuesta

+2 votos
 
Mejor respuesta
La ec. se puede reescribir así: $3\cdot 2^{a} = (b-1)(b+1)$. Como $(b-1,b+1)$ es $1$ o $2$ entonces sólo hay dos casos a considerar:

Caso I. $3 \mid b-1$ y $3 \nmid b+1$

Caso II. $3 \mid b+1$ y $3 \nmid b-1$

En el primer caso se cumple que $b-1=3 \cdot 2^{A}$ y que $b+1 = 2^{B}$ para algunos $A,B \in \mathbb{Z}^{+}$ cuya suma es $a$. Restando miembro a miembro las dos igualdades anteriores se obtiene que

$$2 = 2^{A}(2^{B-A}-3).$$

No resulta difícil convencerse que esta igualdad se cumple solamente cuando $A=1$ y $B=3$. Estos valores para $A$ y $B$ dan lugar a la sig. sol. de la ec. original: $a=4, b=7$.

En el segundo caso, al proceder como en los párrafos previos, vemos que (en este caso) la ec. original da lugar a la ec.

$$2+2^{A}= 3\cdot 2^{B}$$

donde $A,B \in \mathbb{Z}^{+}$ son tales que $A+B= a.$

Si $A=0$ entonces $B=0$ y, en consecuencia, $a=0$, $b=2$. Es imposible que $A=1$ pues $3 \nmid 4$. Finalmente, si $A> 1$ entonces necesariamente $B=1$: esto implica a su vez que $A=2$. Consecuentemente, $a=3, b=5$.

En resumidas cuentas, la ec. original tiene tres sols. en números enteros no negativos:

$a=0, b=2$

$a=3, b=5$

y

$a=4, b=7$.
respondido por José Hdz (39,490 puntos) May 11, 2016
seleccionada por Alexander Isr Flores May 15, 2016
Correcto, José. Es un problema con una solución completamente elemental.
Licencia Creative Commons
Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 2.5 México.

powered by UCIM

...