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Una axiomatización de espacios afines

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Sea $\mathbb{K}$ un campo y sea $A$ un conjunto. Sea $af:\mathbb{K}\times A\times A\to A$ una función. Quiero dar axiomas sobre $af$ para saber cuándo es una operación tipo $(t,u,v)\mapsto tu+(1-t)v$ donde la suma y el producto por escalar están definidos en un $\mathbb{K}$-espacio vectorial que contiene a $A$ como subespacio afín.

Algunos axiomas que se me ocurren son los siguientes:

  1. Identidad: $af(1,u,v)=u$ para todos $u,v\in A$ (es decir, $1u+0v=u$).
  2. Conmutatividad: $af(t,u,v)=af(1-t,v,u)$ para todos $t\in\mathbb{K}$ y $u,v\in A$ (es decir, $tu+(1-t)v=(1-t)v+tu$).
  3. Asociatividad: Si $a,b,c\in\mathbb{K}$ son tales que $a+b\neq 0\neq b+c$ y $a+b+c=1$, entonces
    \[
    af(a+b,(af(\frac{a}{a+b},u,v),w)=af(a,u,af(\frac{b}{b+c},v,w))
    \]
    para todos $u,v,w\in A$ (es decir,
    \[
    (a+b)(\frac{a}{a+b}u+\frac{b}{a+b}v)+cw=au+(b+c)(\frac{b}{b+c}v+\frac{c}{b+c}w)).
    \]

Seguramente me falta algo para las distributividades, los inversos, etc. ¿Qué es?

preguntado por EliasMochan (7,890 puntos) Jun 30, 2016 en Preguntas
editado por EliasMochan Jun 30, 2016
No se como no se me ocurrió checar en el nLab primero a ver si alguien ya había escrito los axiomas: https://ncatlab.org/nlab/show/affine+space
Imagino que mi pregunta no era tan original :P

1 Respuesta

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Mejor respuesta
Primero, no creo que tu objetivo sea razonable en el caso en que $\mathbb{K}$ sea el campo de dos elementos (característica 2 no es el problema, realmente es tener solo dos elementos). Si $A$ es un espacio afín sobre el campo de dos elementos, la función que quieres caracterizar es $(0,u,v) \mapsto  v$, $(1,u,v) \mapsto u$. Pero para cualquier conjunto $A$, aunque no sea de cardinalidad potencia de dos, la función definida por esas fórmulas debería satisfacer todas los axiomas que pidas.

En cambio si $\mathbb{K}$ tiene un elemento $a \neq 0, 1$, y tienes una función $af$ para $A$ puedes intentar dotar a $A$ de una estructura de espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ eligiendo arbitrariamente un $o \in A$ para que funcione como origen y definiendo $u + v = af(\frac{1}{a}, af(a,u,o), af(\frac{a}{a-1},v,o))$ y $t \cdot v = af(t,v,0)$. Sabrás que tienes suficientes axiomas básicamente cuando puedas probar que con esas operaciones $A$ es un $\mathbb{K}$-espacio vectorial (bueno, y que $af(t,u,v) = t \cdot u + (1-t) \cdot v$, que la suma no depende de $a$, etc.)

Propongo como axiomas faltantes:

Para asociatividad de la multiplicación por escalares: $af(st,u,v)=af(s,af(t,u,v),v)$.

Para neutro e inversos aditivos: para cualquier $t \in \mathbb{K}$, $t \ne 0$ y $v \in A$ la función $af(t,-,v) : A \to A$ es una biyección.

Sospecho que eso podría ser suficiente, pero no lo he intentado verificar!

---------

Como dijo Elías, probablemente falte algo para asegurar la distributividad.

Para distribución sobre sumas de vectores: $af(s,af(t,u,v),w) = af(t,af(s,u,w),af(s,v,w))$.

Para distribución sobre sumas de escalares: $af(r,af(s,u,v),af(t,u,v)) = af(rs+(1-r)t, u, v)$.
respondido por Omar Antolín (32,660 puntos) Jul 5, 2016
seleccionada por EliasMochan Jul 12, 2016
No se me ocurre un contraejemplo ahorita, pero sospecho que esos axiomas aún no garantizan las distributividades.
Probablemente tengas razón, voy a agregar un par de sugerencias para eso.
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