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Un baúl de problemas olvidado - Problema propuesto 21

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Problema. En el tetraedro $ABCD$, las bisectrices de los ángulos $ADB$ y $ACB$ concurren en un punto de la arista $AB$. Demuestre que las bisectrices de los ángulos $DAC$ y $DBC$ concurren en un punto de la arista $CD$.

* Las soluciones que se reciban serán consideradas para ser incluidas en la próxima entrega del artículo Un baúl de problemas olvidado. Pueden leer la más reciente entrega de este trabajo en el siguiente enlace:

http://universo.math.org.mx/2016-1/Baul-V/baul-V.html

preguntado por Baúl de Problemas (2,280 puntos) Ago 19, 2016 en Problemas

1 Respuesta

+2 votos
 
Mejor respuesta
Sea $P$ el punto sobre $AB$ donde concurren las bisectrices y sea $Q$ la intersección de la bisectriz del ángulo $DBC$ con $DC$. Por el teorema de la bisectriz, $\dfrac{AD}{BD} = \dfrac{AP}{PB} = \dfrac{AC}{BC}$ y $\dfrac{BD}{BC} = \dfrac{DQ}{QC}$. Entonces $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{BD}{BC}=\dfrac{DQ}{QC}$. De nuevo, por el teorema de la bisectriz, $AQ$ es bisectriz del ángulo $DAQ$.
respondido por Gustavo Chinney (430 puntos) Ago 21, 2016
seleccionada por Baúl de Problemas Oct 26, 2016
Gracias por poner tu solución, estimado Gustavo Chinney... :)
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