• Registro
Foro de preguntas y respuestas de matemáticas, de cualquier nivel. Cuánto más interesantes, divertidas o intrépidas, mejor.
Aviso: Te invitamos a conocer la página de Facebook de la UCIM

Ganas puntos al hacer preguntas, contestarlas y, sobre todo, si tu respuesta es seleccionada como la mejor.
Registrate como usuario para participar en el foro. También puedes utilizar tu identidad de FB Utiliza el botón azul para ingresar (si usas tu identidad de FB y estás logeado en FB, automáticamente te reconoce).

El irracional tiene una página en FB. El Irracional






Un baúl de problemas olvidado - Problema propuesto 25

+1 voto

Problema. Sea $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos. Denotemos con $[a_n,a_{n+1}]$ al mínimo común múltiplo de $a_n$ y $a_{n+1}$. Demuestre que la serie $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{[a_n,a_{n+1}]}$$ converge.

* Las soluciones que se reciban serán consideradas para ser incluidas en la próxima entrega del artículo Un baúl de problemas olvidado. Pueden leer la más reciente entrega de este trabajo en el siguiente enlace:

http://universo.math.org.mx/2016-1/Baul-V/baul-V.html

preguntado por Baúl de Problemas (2,280 puntos) Ago 19, 2016 en Problemas

1 Respuesta

+1 voto
 
Mejor respuesta
Denotaremos al máximo común divisor de $x$ y $y$ como $(x,y).$ Ahora, es bien sabido que $(x,y)=(x,x+y)$ por lo que, para cada $k$ se tiene $(a_k,a_{k+1})=(a_k,a_{k+1}-a_k)$ y como este número debe ser un factor de $a_{k+1}-a_k$ y además $a_k<a_{k+1}$ entonces $(a_k,a_{k+1}-a_k)\leqslant a_{k+1}-a_k.$ Por otra parte, como $[x,y](x,y)=xy$ entonces, para cada $n\geqslant1$ se tiene que
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{[a_k,a_{k+1}]}&=\sum_{k=1}^n\dfrac{(a_k,a_{k+1})}{a_ka_{k+1}}\\\\&=\sum_{k=1}^n\dfrac{(a_k,a_{k+1})}{a_{k+1}-a_k}\left(\dfrac{1}{a_k}-\dfrac{1}{a_{k+1}}\right)\\\\&\leqslant\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{1}{a_k}-\dfrac{1}{a_{k+1}}\right)\\\\&=\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_{n+1}}\\\\&<\dfrac{1}{a_1},
\end{aligned}
$$  
por lo que la sucesión $\left\{\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{[a_k,a_{k+1}]}\right\}_{n\in\mathbb N}$ es acotada y como ésta es además creciente, entonces $\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{[a_n,a_{n+1}]}<\infty.$ $$\blacksquare$$
respondido por Carlos Jalpa (11,200 puntos) Ago 23, 2016
editado por Carlos Jalpa Oct 30, 2016
Muy bien, Carlos Israel... Tu solución está impecable.
Licencia Creative Commons
Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 2.5 México.

powered by UCIM

...