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¿Cómo se interpreta la acción de un grupo en un conjunto?

+2 votos
No entiendo la motivación de la definición de acción de un grupo. Les agradecería mucho si me comparten su visión del tema.
preguntado por heMan (290 puntos) Oct 28, 2016 en Básicas

1 Respuesta

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Mejor respuesta
Un ejemplo que a mí me gusta mucho, es pensar por ejemplo en el grupo de isometrías de $\mathbb R^2$, llamémoslo $G$. Como estamos haciendo teoría de grupos, quisiéramos pensar en $G$ de manera abstracta (olvidándonos del hecho de que los elementos de $G$ son funciones, sobre todo porque tal vez en algún momento queramos reemplazar a $G$ por algún otro grupo isomorfo a él), pero a la vez quisiéramos recordar cómo cada elemento $g\in G$ puede "aplicarse" a un vector $\vec{x}\in\mathbb R^2$ para obtener un vector distinto $g*\vec{x}\in\mathbb R^2$. Pareciera que lo que importa no es tanto multiplicar un elemento del grupo con otro elemento del grupo, sino más bien poner juntos un elemento del grupo $G$ y un elemento del conjunto $\mathbb R^2$ y de alguna manera obtener otro elemento de $\mathbb R^2$ de esta manera.

Otro ejemplo similar es cuando trabajamos con el grupo $S_n$ de permutaciones en $n$ elementos. Este grupo es muy interesante como grupo, pero a veces queremos usar esas permutaciones $\sigma\in S_n$ para aplicarlas a números y ver qué les pasa: obtener $\sigma(i)$ a partir de $\sigma$ e $i$. Desde el punto de vista abstracto, no queremos hacer uso del hecho de que los elementos de $S_n$ son funciones (sobre todo, porque tal vez en algún momento queramos sustituir $S_n$ por algún otro grupo isomorfo a él...), por lo cual preferimos hablar de manera abstracta de que tenemos una regla para obtener, dado $\sigma\in S_n$ e $i\in\{1,\ldots,n\}$, un nuevo elemento $\sigma*i\in\{1,\ldots,n\}$.

Esto justifica la definición de acción de un grupo $G$ en un conjunto $X$ como una función $G\times X\longrightarrow X$ que satisface un par de propiedades extra (nada misteriosas, simplemente quiero que la función se comporte bonito respecto de la operación de grupo). Una vez que observamos que, dado un $g\in G$ fijo, éste determina una biyección $X\longrightarrow X$ (dada por $x\longmapsto g*x$), es natural pensar en la otra definición (equivalente a la anterior) de acción del grupo $G$ en el conjunto $X$ como un homomorfismo $G\longrightarrow S_X$ (donde $S_X$ es el grupo de permutaciones (biyecciones) de los elementos de $X$) (el hecho de que esta función sea un homomorfismo corresponde exactamente con el hecho de que queremos que la acción se comporte bien respecto de la operación de grupo).
respondido por David Fernández (15,540 puntos) Oct 31, 2016
seleccionada por heMan Nov 4, 2016
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