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Transformaciones de Möbius

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Tengo dos circunferencias en el plano, una dentro de la otra y con distinto centro, ¿Existe una transformación de Möbius que transforme estos círculos en círculos concéntricos?
preguntado por Ricardo (1,250 puntos) Feb 20 en Básicas
editado por Ricardo Feb 20

1 Respuesta

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Si.

Primero cambia coordenadas para que la linea que une los centros sea el eje real (rotación y traslación). Expande y traslada para que el círculo exterior pase por $-1,1$. el interior pasa por los puntos $p_1 < p_2 \in \mathbb{R}$.

Una transformación de Möbius $T$ tiene coeficientes reales si y solo si preserva el eje real (y por tanto la ortogonalidad con los círculos). Si pides que mantenga $-1,1$ fijos, entonces preserva todo el círculo exterior, y todavia tienes un parámetro para jugar (pues $T$ está definida por la imágen de 3 puntos). Usa el tercer parámetro para mover el círculo interior. La condición $T(p_1) = -T(p_2)$ (junto con $T(\pm 1) = T(\pm 1)$ y coeficientes reales) es lineal (verifica), así que tiene solución.

respondido por Rodrigo Pérez (9,950 puntos) Abr 21
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