• Registro
Foro de preguntas y respuestas de matemáticas, de cualquier nivel. Cuánto más interesantes, divertidas o intrépidas, mejor.
Aviso: Te invitamos a conocer la página de Facebook de la UCIM

Ganas puntos al hacer preguntas, contestarlas y, sobre todo, si tu respuesta es seleccionada como la mejor.
Registrate como usuario para participar en el foro. También puedes utilizar tu identidad de FB Utiliza el botón azul para ingresar (si usas tu identidad de FB y estás logeado en FB, automáticamente te reconoce).

El irracional tiene una página en FB. El Irracional






Stone-Weierstrass donde se anula en un punto.

+1 voto
Considera un espacio compacto metrizable $\mathrm{E}$ y $\mathscr{A}$ un álgebra en el conjunto de las funciones continuas $\mathrm{E} \to \mathbb{R}.$ Supón que $\mathscr{A}$ separa puntos y que $x$ es un punto en $\mathrm{E}$ para el cual toda función en $\mathscr{A}$ se anula (desvanece o desaparece). Mi intuición me dice que $\overline{\mathscr{A}}$ debe ser el conjunto de las funciones continuas que se anulan en $x.$ Agradezco sugerencias.

Algunas cuestiones a considerar: porque $\mathscr{A}$ separa puntos, $x$ es el único punto donde todas las funciones de $\mathscr{A}$ se anulan. Dada $f:\mathrm{E} \to \mathbb{R}$ continua con $f(x) = 0,$ uno puede aproximar $f$ afuera de $\mathrm{B}(x: r)$ ($r$ es cualquier número positivo) por alguna $g_r$ en $\mathscr{A}.$ El problema yace en controlar a la familia $(g_r)$ o controlar una $g_r$ dentro de tal bola.

Saludos,
preguntado por Guillermo Martinez (2,240 puntos) Mar 13, 2017 en Básicas
editado por Guillermo Martinez Mar 13, 2017

1 Respuesta

+1 voto
 
Mejor respuesta
Considera $\mathscr{B} = \mathbb{R} \mathbf{1} + \overline{\mathscr{A}} = \{ a \mathbf{1} + f : a \in \mathbb{R}, f \in \overline{\mathscr{A}} \}$, donde $\mathbf{1}$ es la función constante con valor uno. Esta álgebra $\mathscr{B}$ claramente es cerrada, separa puntos y contiene a las constantes, así que por el teorema usual de Stone-Weierstrass, contiene a todas las funciones continuas. Ahora sea $g$ un función continua que se anula en $x$. Tenemos que $g  = a \mathbf{1} + f$ con $a \in \mathbb{R}$ y $f \in \overline{\mathscr{A}}$. Evaluando en $x$ vemos que $a=0$ y por lo tanto $g = f \in \overline{\mathscr{A}}$.
respondido por Omar Antolín (33,060 puntos) Mar 14, 2017
seleccionada por Guillermo Martinez Mar 15, 2017
Licencia Creative Commons
Este obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 2.5 México.

powered by UCIM

...